Экранирование электрического поля в структурах пониженной размерности
Наноразмерные структуры практически всегда создаются на основе пленок порядка десятков (единиц) нанометров либо из токопленочных структур, состоящих из таких пленок. Понятно, что при транспорте электронов вдоль или поперек такой пленки или структуры основное влияние на все процессы будут сказывать параметры границы раздела (интерфейс) и приповерхностных областей. На локальные электронные состояния на границах раздела захватываются электроны, создавая встроенные заряды. Роль таких поверхностных зарядов может играть и внешнее электрическое поле.
В равновесных условиях любой рассматриваемый образец должен быть электрически нейтрален .Это возможно только в том случае, если локальные заряды и внешние поля будут экранированы. Отсюда следует, что любой поверхностный заряд или внешнее поле должны быть скомпенсированы равным по величине и обратным по знаку зарядом в приповерхностном слое, он экранирует объем полупроводника от поля поверхностного заряда. Понятно, что для создания этого дополнительного экранирующего заряда необходимо иметь в приповерхностном слое концентрацию подвижных зарядов, отличную от объемных. Таким образом, в приповерхностном слое образуется слой пространственного заряда. Понятно, что в этом слое появится электрическое поле и возникнет распределение электростатического потенциала. Как то, так и другое определяется уравнением Пуассона при соответствующих граничных условиях. Такие решения для поверхностных слоев хорошо известны еще с времен разработки теории выпрямления на контакте металл-полупроводник, проведенной практически одновременно Давыдовым в России, Шоттки в Германии и Моттом в Англии [1-3]. Однако в этом случае в формировании пространственного заряда участвовали только не скомпенсированные доноры и акцепторы .Это связано с тем, что по своей природе выпрямление на контакте металл-полупроводник определяется наличием так называемого истощенного ( или обедненного) слоя, который соответствует обеднению приповерхностного слоя основными носителями заряда. Ясно, сто тогда нет необходимости учитывать непосредственный вклад в заряд подвижных зарядов-электронов и дырок.
Концентрация носителей заряда в термодинамическом равновесии в общем случае описывается статистикой Ферми-Дирака
(4.1.1.)
Если уровень Ферми не слишком близко расположен к границам разрешенных зон, т.е. разность энергий EC-EF, EF-EV >3k0T, то единицей в знаменателе (4.1.1) можно пренебречь. Иначе говоря, при отсутствии вырождения концентрации подвижных носителей заряда в любой точке полупроводника определяются статистикой Больцмана. Если измерять энергию в единицах k0T ,то функция распределения Больцмана имеет вид
ƒ0 (EC, EV, EF) = exp (EF-E). (4.1.2)
Пусть положение всех энергетических уровней измеряется от уровня Ферми собственного полупроводника. Тогда в случае простой зоны определяется по формуле
EF =-1/2ΔEg+3/4k0T ln(mh/me) (4.1.3)
Здесь ΔEg -ширина запрещенной зоны,me и mh -эффективные массы плотности состояний соответственно для электронов и дырок.
При mh = me или T=0 уровень Ферми действительно располагается в точности посередине между валентной зоной и зоной проводимости. В большинстве собственных полупроводников отклонение уровня Ферми от этого среднего положения при обычных температурах невелико. В то же время в некоторых полупроводниках, например InSb, для которого mh/me20, отклонение уровня Ферми в сторону зоны проводимости при комнатных температурах достигает 0,056 эВ.
Следует помнить, что довольно долгое время в литературе по полупроводникам при рассмотрении статистики Ферми-Дирака в качестве нормировочного коэффициента вместо уровня Ферми употребляется так называемый химический потенциал [4,5]. Известно, что для металлов даже при абсолютном нуле температур электроны обладают кинетической энергией трансляционного движения и заполняют все нижние уровни энергии в кристалле вплоть до уровня химического потенциала. Химический потенциал ξ0является функцией состояния, используемой для описания термодинамических систем с переменным числом частиц N ,и характеризует способность рассматриваемого компонента к выходу из данной фазы. Для систем, состоящих из заряженных частиц (электроны, ионы), химический потенциал записывается в виде
ξi=ξ0+zi q ϕ,(4.1.4)
где zi - заряд частицы; q-элементарный заряд; ϕ -электрический потенциал.
В этом случае ξi называется электрохимическим потенциалом. Смысл двух слагаемых в выражении для электрохимического потенциала состоит в том, что при внесении (или удалении) в систему дополнительно новых ԀNi частиц к обычной «химической» работе ξ0 ԀNi добавляется работа по преодолению электрических сил.
Химический потенциал вырожденного газа тождественно совпадает с энергией Ферми, ниже которой все состояния оказываются заполненными, а выше – свободными. Именно такая ситуация и характерна для металлов при температуре Т=0. В собственном полупроводнике при Т=0 химический потенциал электронов численно равен энергии середины запрещенной зоны. Отсюда и название этой энергии - уровень Ферми собственного полупроводника. Если система находится при температуре выше абсолютного нуля, то всегда есть определенное количество частиц с энергией выше энергии Ферми и равное им количество свободных состояний ниже этой энергии Соотношения между заполненными и свободными состояниями отражают различные положения уровня Ферми. Постепенно в литературе для систем, подчиняющихся статистике Больцмана или Ферми, стали вместо химического потенциала применять термин «энергия Ферми» (уровень Ферми) во всех случаях и при любой температуре
В соответствии с вышесказанным при отсутствии вырождения уравнений для концентраций электронов и дырок в разрешенных зонах представляются в виде
no=NC exp(EF-EC); (4.1.5)
p0=NV exp(EV-EF), (4.1.6)
А так как NCexp(-EC)= NV exp(EV)=ni, -для собственной концентрации, для равновесных концентраций в разрешенных зонах окончательно можно записать
no=ni exp(EF), po=ni exp(-EF). (4.1.7)
Используя эту запись, можно сделать один формальный, но очень важный вывод, который неоднократно нам понадобится в дальнейшем
no p0 = ni 2NCNVexp(-Eg/k0T). (4.1.8)
Это значит, что произведение равновесных концентраций электронов и дырок в отсутствие вырождения всегда равно квадрату собственной концентрации.
Из соотношения (4.1.8) видно, что собственная концентрация является фундаментальной характеристикой для каждого полупроводника и определяется его кристаллической структурой и природой элементов, его составляющих.
Рис. 4.1. Температурные зависимости собственной концентрации Si, Ge. GaAs [6]
Собственная концентрация для данного полупроводника изменяется только с изменением температуры (рис. 4.1) [6].Это означает, что назвать точную величину собственной концентрации можно только для определенной температуры. Если температуру не называют, то обычно имеют в виду собственную концентрацию при комнатной температуре или 300 К.
При различных расчетах полупроводниковых структур часто пользуются еще одним полезным понятием. Это так называемая мера легирования полупроводника. Она определяется как отношение концентрации основных носителей заряда к собственной концентрации.
(4.1.9)
Из уравнения (4.1.9) видно, что для собственного полупроводника, если n0=p0=ni, , то λ =1. Для дырочного полупроводника λ>1, для электронного λ<1.
Используя формулы (4.1.7), можно записать
n0=niλ-1 , p0=ni λ , EF=lnλ-1 (4.1.10)
Это означает, что величина lnλ так же как EF , определяет энергетическое расстояние (в единицах k0T ) между уровнем Ферми при данном легировании и уровнем Ферми собственного полупроводника (середина запрещенной зоны).
Объектом изучения в курсе «Физические основы наноэлектроники» обычно являются очень тонкие (единицы, десятки нанометров) полупроводниковые слои. Иногда рассматриваются отдельные части более толстых слоев, по своим параметрам отличающиеся от основной «матрицы» и, конечно ,тоже с базовыми размерами на уровне нанометров. Такие слои чаще всего отделяются друг то друга областью, называемой границей раздела-interface.
Границей раздела называют переходной слой в котором физико-химичческие, кристаллические и другие параметры полупроводника отличаются от основного кристалла, пленки или объема образца. В последнем случае этот слой чаще называют приповерхностным.
В пределах рассматриваемой проблемы наиболее частым случаем являются полупроводниковая поверхность и тонкопленочные гомо- и гетерополупроводниковые структуры. Из выше сказанного очевидно, что поведение приповерхностного слоя при воздействии внешнего электрического поля на полупроводник можно легко распространить на многие из перечисленных объектов.
Распределение электрического поля зарядов в этой области рассматривали многие исследователи. Основой нашего рассмотрения будет работа основоположников науки о физике поверхности полупроводников К. Гаррета и В. Брэттена [7], которая, несмотря на давность, считается одной из лучших в этой области знаний.
Если к конденсатору, одной из обкладок которого является пластина полупроводника, приложить электрическое поле, то вблизи поверхности последнего возникнет индуцированный заряд. Этот заряд создается подвижными носителями заряда, присутствующими в полупроводнике. Появившийся заряд экранирует остальной объем полупроводника от проникновения внешнего электрического поля.
Область локализации этого индуцированного заряда называется областью пространственного заряда (ОПЗ) (рис.4.2).
На рис. 4.2 стрелками указаны силовые линии внешнего электрического поля. Они заканчиваются на локальных зарядах и не проходят в объем, что служит наглядной иллюстрацией эффекта экранирования. Необходимо отметить, что возникновение ОПЗ в полупроводнике может быть связано не только с перераспределением подвижных носителей заряда в разрешенных зонах, но и с перераспределением заряда на локальных энергетических состояниях в запрещенной зоне.
Общей характеристикой заряда в ОПЗ является величина его объемной плотности ρ(z) ,зависящая от координаты z , нормальной к поверхности полупроводника. Величина ρ(z) определяется алгебраической суммой всех типов положительных отрицательных зарядов в данной точке пространства. Предполагается, что по остальным направлениям полупроводник полностью изотропен. Таким образом
ρ(z)=q[Nd-Na+p(z)-n(z)] (4.1.11),
где Nd и Na –концентрации ионизированных доноров и акцепторов;
n(z) и p(z) –равновесные концентрации электронов и дырок в разрешенных зонах;
q -абсолютная величина заряда электрона.
Такая запись возможна при выполнении двух условий:
а) доноры и акцепторы, присутствующие в полупроводнике, полностью ионизированы в любой точке полупроводника;
б)все легирующие примеси являются однозарядными. Это означает, что однозарядный нейтральный донор может отдать только один электрон и его заряд станет равным +q, а однозарядный акцептор приобрести только один электрон и тогда его заряд равен –q, т.е. Nd=n0, а Na=p0. С учетом этого условия выражение для оценки объемной плотности заряда в OПЗ может быть представлено в виде
ρ(z)=q[n0-p0+p(z)-n(z)]. (4.1.12)
Понятно, что если полупроводник содержит несколько типов донорных и акцепторных уровней, то при расчете необходимо брать сумму концентраций зарядов на каждом из них
При отсутствии индуцированного заряда полупроводник электрически нейтрален вплоть до границы раздела. В этом случае сумма положительных и отрицательных зарядов всюду равна нулю и ρ(z) =0.
(4.1.1.)
20, отклонение уровня Ферми в сторону зоны проводимости при комнатных температурах достигает 0,056 эВ.
(4.1.9)