Подмножества. Отношение включения.

Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X⊆Y.

Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂: X⊂Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:

X⊂Y ⇔ X⊆Y и X≠Y

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:

1. X⊆Х (рефлексивность);
2. [X⊆Y и Y⊆Z] → X⊆Z (транзитивность);
3. ∅ ⊆ M. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Исходное множество А по отношению к его подмножествам называется полным множеством и обозначается I.

Любое подмножество А_i множества А называется собственным множеством А.

Множество, состоящие из всех подмножеств данного множества Х и пустого множества ∅, называется булеаном Х и обозначается β(Х). Мощность булеана |β(Х)|=2ⁿ.

Счетное множество — это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в последовательность (м.б. бесконечную) а₁, а₂, а₃, ..., а_n, ... так, чтобы при этом каждый элемент получил ишь один номер n и каждое натуральное число n было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Пример. Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9, ..., n² представляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Множество является счетным, так как приводится во взаимно однозначные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

Существует 2 основных способа задания множеств.

• перечислением (X={a,b}, Y={1}, Z={1,2,...,8}, M={m₁,m₂,m₃,..,m_n});
• описанием — указывается характерное свойства , которым обладают все элементы множества.

Множество полностью определено своими элементами.

Перечислением можно задать только конечные множества (например, множество месяцев в году). Бесконечные множества можно задать только описанием свойств его элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием Q={n/m, m, n∈Z, m≠0}.

Способы задания множества описанием:

а) заданием порождающей процедуры с указанием множества (множеств), которое пробегает параметр (параметры) этой процедуры — рекурсивный, индуктивный.

X={x: x₁=1, x₂=1, x_k+2=x_k+x_k+1, k=1,2,3,...} — мн-во чисел Фибониччи.

{мн-во элементов х, таких, что х₁=1,х₂=1 и произвольное х_k+1 (при к=1,2,3,...) вычисляется по формуле х_k+2=х_k+х_k+1} или Х=[x: x₁=1, x₂=1, x₃=2, x₄=3, x₅=5, x₆=8, ...}

б) заданием вычислительной процедуры формульной зависимости:

X = {x: x=2sin(y)+1, y∈{0, p/2}} ⇔ {1, 3}

X = {x: x²-1=0 ⇔{+1,-1}

в) заданием характеристического свойства (высказывания), выделяющего элементы данного множества из элементов других множеств — предикатный.

А={x: x — четное число}; M={x: p(x)} — множество х, обладающих свойством p

N={n: n∈Z, n>0, Z={-..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} — множество целых чисел

K={m: m=n², n∈N} — множество всех квадратов натуральных чисел, N={1, 2, 3, ...}

X={x: 0≤x≤1, x∈N} ⇔ 1, 2, 3, ..., где N-мн-во целых чисел.

г) заданием с помощью операций над множествами — аналитический.

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из его определения:

Если X⊆Y и Y⊆X → X=Y

Для любого множества само это множество и ∅ можно рассматривать как его подмножества, называемые несобственными. Все другие подмножества — собственные.