Лекция 12: Основные понятия теории множеств

Рассмотрение системы как совокупности элементов дает возможность привлечь для ее математического описания аппарат теории множеств. При этом в ряде важных случаев связи между элементами удобно описываются с помощью аппарата математической логики.

Понятие множества — является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать точное определение, используя элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением понятия множества.

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества — «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках { }.

Принято использовать следующие обозначения:

• a ∈ X — «элемент a принадлежит множеству X»;
• a ∉ X — «элемент a не принадлежит множеству X»;
• ∀ — квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;
• ∃ — квантор существования: ∃y ∈ B — «существует (найдется) элемент y из множества B»;
• ∃! — квантор существования и единственности: ∃!b ∈ C — «существует единственный элемент b из множества C»;
• : — «такой, что; обладающий свойством»;
• → — символ следствия, означает «влечет за собой»;
• ⇔ — квантор эквивалентности, равносильности — «тогда и только тогда».

Множества бывают конечные и бесконечные. Множества называются конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А={a₁, a₂,a ₃, ..., a_n}. Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. B={b₁,b₂,b₃, ...}. Например, множество букв русского алфавита — конечное множество. Множество натуральных чисел — бесконечное множество.

Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. Пустоемножество — множество, не содержащее ни одного элемента — ∅. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

• Х=Х; — рефлексивность
• если Х=Y, Y=X — симметричность
• если X=Y,Y=Z, то X=Z — транзитивность.

Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.