Пересечение множеств

Объединение множеств

Лекция 13: Операции над множествами. Упорядоченное множество

Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.

Объединение X и Y обозначается через X∪Y

Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 1. Если X={1,2,3,4,5} и Y={2,4,6,8}, то

X∪Y={1,2,3,4,5,6,7,8}

Пример 2. Если X={x:x — отл.гр.}, и Y={x:x — gib.}, то

X∪Y={x:x — или отл., или gib}.

Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то

X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.

Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М={X₁,X₂, ...,X_n} совокупность n множеств X₁,X₂, ...,X_n, называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств

∪X_i=∪(X∈M), Х=X₁∪X₂∪...∪X_n

представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.

Для объединенных множеств справедливы:

• X∪Y = Y∪X — коммутативный закон
• (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z) = X∪Y∪Z — ассоциативный закон,

справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.

Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.

Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.

Пересечение множеств обозначается X∩Y.

Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 4. X={1,2,3,4,5} Y={2,4,6,8} X∩Y = {2,4}

Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.

Пример 7. {1,2,3} и {4,5,6}

В отличие от алгебры чисел, где могут быть три возможности: a<b, a=b, b<a между двумя множествами X и Y может быть одно из 5 cотношений:

X=Y; X⊂Y; Y⊂X; X∩Y=∅ и X и Y находятся в общем положении.

Говорят, что множества X и Y находятся в общем положении, если выполняются три условия:

1. существует элемент множества X, не принадлежащий Y;
2. существует элемент множества Y, не принадлежащий X;
3. существует элемент, принадлежащий как X, так и Y.

Аналогично объединению понятие пересечения можно распространить на систему множеств:

∩X=∩X_i=X₁∩X₂∩...∩X_n

Пересечение множеств представляет собой множество, элементы которого принадлежат каждому из множеств системы М.

Для пересечения множеств справедливы:

• X∩Y=Y∩X — коммутативный закон
• (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z — ассоциативный закон

Заметим также, что имеет место соотношение X∩∅=∅.

Пример 8. A={a,b}, B={b,c}, C={a,c}.

A∩B∩C=∅, хотя A∩B={b}, B∩C={c}