Матрица решений ||eij|| дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.
Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:
вероятности появления состояния Fj неизвестны;
с появлением каждого из состояний Fj по отдельности необходимо считаться;
критерий применим и при малом числе реализаций решения;
некоторый риск допускается.
Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все eij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг eij+а с некоторой константой а>|minij(eij)|. Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего
а:= |minij(eij)|+1.
Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим.
Рассмотрим тот же пример, что и ранее (см. выше).
Построение оптимального решения для матрицы решений о проверках по критерию Гурвица имеет вид (при С=0, в 103):
||eij||
С⋅minj(eij)
(1-С)⋅maxj(eij)
eir
maxi(eir)
-20,0
-22,0
-25,0
-12,5
-10.0
-22,5
-14,0
-23.0
-31.0
-15,5
-7.0
-22,5
-24.0
-40.0
-20.0
-20.0
-20.0
В данном примере у решения имеется поворотная точка относительно весового множителя С: до С=0,57 в качестве оптимального выбирается Е3, а при больших значениях — Е1.
Применение критерия Ходжа-Лемана (q=0,33, v=0, в 103):
∑eij⋅qj
minj(eij)
v⋅∑eij⋅qj
(1-v)⋅∑eij⋅qj
eir
maxi(eir)
-22,33
-25,0
-11,17
-12,5
-23,67
-23,67
-22,67
-31,0
-11,34
-15,5
-26,84
-21,33
-40,0
-10,67
-20,0
-30,76
Критерий Ходжа-Лемана рекомендует вариант Е1 (полная проверка) — так же как и ММ-критерий. Смена рекомендуемого варианта происходит только при v=0,94. Поэтому равномерное распределение состояний рассматриваемой машины должно распознаваться с очень высокой вероятностью, чтобы его можно было выбрать по большему математическому ожиданию. При этом число реализаций решения всегда остается произвольным.
Критерий Гермейера при qj = 0.33 дает следующий результат (в 103):
||eij||
||eijqj||
eir = minj(eijqj)
maxi(eir)
-20,0
-22,0
-25,0
-6,67
-7,33
-8,33
-8,33
-8,33
-14,0
-23,0
-31,.0
-4,67
-7,67
-10,33
-10,33
-24,0
-40,0
-8,0
-13,33
-13,33
В качестве оптимального выбирается вариант Е1. Сравнение вариантов с помощью величинe eirпоказывает, что способ действия критерия Гермейера является даже более гибким, чем у ММ-критерия.
В таблице, приведенной ниже, решение выбирается в соответствии с BL(MM)-критерием при q1=q2=q3=1/2 (данные в 103).
||eij||
∑eijqj
ei0j0 - minj(eij)
maxj(eij)
maxj(eij) - maxj(ei0j)
-20,0
-22,0
-25,0
-23,33
-20,0
-14,0
-23,0
-31,0
-22,67
+6,0
-14,0
+6,0
-24,0
-40,0
-21,33
+15,0
+20,0
Вариант Е3 (отказ от проверки) принимается этим критерием только тогда, когда риск приближается к Eвозм = 15⋅103. В противном случае оптимальным оказывается Е1. Во многих технических и хозяйственных задачах допустимый риск бывает намного ниже, составляя обычно только незначительный процент от общих затрат. В подобных случаях бывает особенно ценно, если неточное значение распределения вероятностей сказывается не очень сильно. Если при этом оказывается невозможным установить допустимый риск Eдоп заранее, не зависимо от принимаемого решения, то помочь может вычисление ожидаемого риска Eвозм. Тогда становится возможным подумать, оправдан ли подобный риск. Такое исследование обычно дается легче.
Результаты применения критерия произведения при а = 41⋅103 и а = 200⋅103 имеют вид:
a
||eij + a||
eir = ∏jeij
maxieir
+21
+19
+16
+27
+18
+10
+41
+17
+1
+180
+178
+175
+186
+177
+169
+200
+176
+160
Условие eij > 0 для данной матрицы не выполнимо. Поэтому к элементам матрицы добавляется (по внешнему произволу) сначала а = 41⋅103, а затем а = 200⋅103.
Для а = 41⋅103 оптимальным оказывается вариант Е1, а для а = 200⋅103 — вариант Е3, так что зависимость оптимального варианта от а очевидна.
