Производные критерии.

Пример и выводы.

Критерий Сэвиджа.

Критерий Байеса—Лапласа.

Обозначим через q_i — вероятность появления внешнего состояния F_j.

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:

матрица решений дополняется еще одним столбцом содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение e_ir этого столбца.

При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

Вероятности появления состояния F_j известны и не зависят от времени.
Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.
Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключен.

Т.о. критерий Байеса-Лапласа (B-L-критерий) более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

a_ij:= max_i(e_ij) - e_ij

e_ir:= max_i(a_ij) = max_j(max_i(e_ij) - e_ij)

Величину a_ij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии F_j вместо варианта E_iвыбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину a_ij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии F_j при замене оптимального для него варианта на вариант E_i. В последнем случае e_ir представляет собой максимально возможные (по всем внешним состояниям F_j , j = {1,n}) потери в случае выбора варианта E_i.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:

Каждый элемент матрицы решений ||e_ij|| вычитается из наибольшего результата max(e_ij) соответствующего столбца.
Разности a_ij образуют матрицу остатков ||e_ij||. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ir. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к ММ-критерию.

Из требований, предъявляемых к рассмотренным критериям становится ясно, что в следствии их жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов ЛПР волевым методом выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Пример. При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в ней вирусов. Приостановка в обработке информации приводит к определенным экономическим издержкам. В случае же если вирус вовремя обнаружен не будет, возможна потеря и некоторой части информации, что приведет и еще к большим убыткам.

Варианты решения таковы:

Е₁ — полная проверка;

Е₂ — минимальная проверка;

Е₃ — отказ от проверки.

ЭВМ может находиться в следующих состояниях:

F₁ — вирус отсутствует;

F₂ — вирус есть, но он не успел повредить информацию;

F₃ — есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.

Результаты, включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с восстановлением информации имеют вид:

	F₁	F₂	F₃	ММ-критерий	критерий B-L
e_ir = min_j(e_ij)	max_i(e_ir)	e_ir = ∑e_ij	max_i(e_ir)
E₁	-20,0	-20	-25,0	-25,0	-25,0	-22,33
E₂	-14,0	-23,0	-31,0	-31,0		-22,67
E₃		-24.0	-40.0	-40.0		-21.33	-21.33

Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку. Критерий Байеса-Лапласа, в предположении, что все состояния машины равновероятны.

P(F_j) = q_j = 0,33,

рекомендуется отказаться от проверки. Матрица остатков для этого примера и их оценка (в тысячах) согласно критерию Сэвиджа имеет вид:

	F₁	F₂	F₃	Критерий Сэвиджа
e_ir = min_j(a_ij)	min_j(e_ir)
E₁	+20,0			+20,0
E₂	+14,0	+1,0	+6,0	+14,0	+14,0
E₃		+2,0	+15,0	+15,0

Пример специально подобран так, что каждый критерий предлагает новое решение. Неопределенность состояния, в котором проверка застает ЭВМ, превращается в неясность, какому критерию следовать.

Поскольку различные критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности, если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то рекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями минимакса или Севиджа.