Критерий предельного уровня

Критерий «ожидаемое значение — дисперсия».

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций.

Если х — с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое x^ имеет дисперсию DX/n, где n — число слагаемых в x^. Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что x^ близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией ее дисперсии.

Пример 2. Применим критерий «ожидаемое значение — дисперсия» для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

з_Т=(C₁∑n_t+C₂n)/T

Т.к. n_t, t = {1, T-1} — с.в., то з_Ттакже с.в. С.в. n_tимеет биномиальное распределение с M(n_t) = np_tи D(n_t) = np_t(1–p_t). Следовательно,

D(з_Т) = D((C₁∑n_t+C₂n)/T) = (C₁/T)² D(∑n_t) =

= (C₁/T)² ∑Dn_t = (C₁/T)² ∑np_t(1-p_t) = (C₁/T)² {∑p_t - ∑p_t²},

где С₂n = const.

Из примера 1 следует, что

М(з_Т) = М(з(Т)).

Следовательно искомым критерием будет минимум выражения

М(з(Т)) + к D(з_Т).

Замечание. Константу «к» можно рассматривать как уровень не склонности к риску, т.к. «к» определяет «степень возможности» дисперсии Д(з_Т) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то он может выбрать «к» много больше 1. Это придает больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При к=1 получаем задачу

M(з(T))+D(з(T)) = n { (C₁/T+C₁²/T²)∑p_t - C₁²/T²∑p_t² + C²/T }

По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу

Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т^*=1.

Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыль или минимизирующего затраты. Скорее он соответствует определению приемлемого способа действий.

Пример 3. Предположим, что величина спроса x в единицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задается непрерывной функцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшем возможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаях возможны потери.

Т.к. определить потери от дефицита очень трудно, ЛПР может установить необходимый уровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала A₁ единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала A₂ единиц. Иными словами, пусть I — искомый уровень запасов. Тогда

ожидаемый дефицит = ∫(x-I)f(x)dx ≤ A₁,

ожидаемые излишки = ∫(I-x)f(x)dx ≤ A₂.

При произвольном выборе A₁ и A₂ указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений, чтобы обеспечить допустимость.

Пусть, например,

f(x) = 20/x², 10≤x≤20,

f(x) = 0, x≤10 и x≥20.

Тогда

∫(x-I)f(x)dx = ∫(x-I)(20/x²)dx = 20(ln(20/I) + I/20 – 1)

∫(I-x)f(x)dx = ∫(I-x)(20/x²)dx = 20(ln(10/I) + I/10 – 1)

Применение критерия предельного уровня приводит к неравенствам

ln(I) - I/20 ≥ ln(20) – A₁/20 – 1 = 1,996 - A₁/20

ln(I) - I/10 ≥ ln(10) – A₂/20 – 1 = 1,302 - A₂/20

Предельные значения A₁ и A₂ должны быть выбраны так, что бы оба неравенства выполнялись хотя бы для одного значения I.

Например, если A₁ = 2 и A₂ = 4, неравенства принимают вид

ln(I) - I/20 ≥ 1,896

ln(I) - I/10 ≥ 1,102

Значение I должно находиться между 10 и 20, т.к. именно в этих пределах изменяется спрос. Из таблицы видно, что оба условия выполняются для I, из интервала (13,17)

Любое из этих значений удовлетворяет условиям задачи.