Динамическая система представляет математическую модель функционирования объекта анализа в пространстве и времени. Чтобы модель охватила широкий класс реальных объектов необходимо исходить из самых общих предположений о характере объекта. Поэтому система определяется в терминах наблюдаемых свойств и взаимосвязи между ними.
Под процессом функционирования понимается изменение состояния системы под действием внутренних и внешних причин. При этом состояние системы в фиксированный момент времени представляет вектор наблюденных значений переменных (проявлений свойств).
Определим динамическую систему в виде отношения на множествах X, Y, T, C.
Множества X и Y представляет воздействия на систему внешней среды и ее реакции. Далее будем их называть входными и выходными переменными. Множество Т представляет множество [t0, t1, t2, ...] множеств времени в интервале наблюдения.
Zi = <a1, m1, a2, m2, ..., aN, mN>
Полное множество состояний системы образует фазовое пространство состояний динамической системы. Изменение состояния системы это переход из одной точки фазового пространства Ci в другую Cj. Он происходит под воздействием входных сигналов Xk ⊂ X. Процесс переходов Ci → Cj → Cc → ... → Cp происходит во времени.
Рассмотрим процесс переходов системы в фазовом пространстве состояний.
Пусть в начальный момент наблюдения t0 система находилась в некотором состоянии, который будем называть начальное состояние Ct0. Множество всех возможных начальных состояний есть декартовое произведение t0 × C. Множество всех возможных входных сигналов в моменты времени t1, t2, ... тоже есть декартово произведение Т × Х.
Множество всех возможных переходов системы в интервале наблюдения под воздействием входных сигналов представляет соотношение вида
(t0 × C) × (T × X) × C
Процесс переходов системы в фазовом пространстве, наблюдаемый во времени, представляет собой множество отношений упорядоченности декартово произведение, что видно из рисунка.
Математическая модель этого процесса имеет вид отображения
P: (t0 × Z) × (t1 × X) → Zt1
В общем случае ее можно записать в следующем виде
Сt = P{(t0, ..., t), Ct0, X},
где Р — множество операторов перехода системы в фазовом пространстве состояний.
Выходная реакция системы в любой момент времени определяется состоянием системы в этот момент времени. Поэтому справедливо следующее соотношение.
Yt = G{Zt}.
где CZ — множество оператор выходов.
Таким образом, динамическая система представляет собой множество
S = (P, G, X, Y, C, T).
Как следует из соотношений ( и ) это множество можно представить в виде декомпозиции
Наиболее общими свойствами динамических систем являются устойчивость и управляемость.