Характеристическая функция

В системных задачах цель системы находится «в руках» пользователя. Это значит, что с позиции системных свойств цель представляет предпочтительное для пользователя ограничение свойств системы. Из этого следует, что система может рассматриваться относительно любой цели. И любая система в какой-то степени соответствует цели.

Близость действительных и желаемых свойств называется характеристикой системы относительно цели или просто характеристической функцией.

Пусть S множество систем, отличающихся свойствами, которые определяют понятия цели. Характеристическую функцию системы можно представить следующим образом

ω : S × S → [0,1]

Это отображение удобно определить с помощью функции расстояния

ω(S, S₉) = 1 - [δ(S, S_k)]/max_kδ(S, S_k)

где S, S_k, S₉ S , max_kδ(S, S_k) — максимальное расстояние на множестве S×S.

Используя понятия характеристической функции введем понятие целенаправленной системы. Система S может рассматриваться как целенаправленная относительно заданной цели S₉, если ее характеристика больше заданного порога

ω(S, S₉) ≥ ω₀

Рассмотрим следующую задачу. Предложим, что цель определена с помощью функции поведения f* на множестве систем S = (S₁, S₂, ..., S_m) и для них определены функции поведения F = (f₁, f₂, ..., f_m).

Расстояние между системами определяется следующим образом

δ(f_i, f*) = ∑ [f_i(d_k) - f*(d_k)]^1/p

где d_k ∈ D — множество состояний системы.

K = |D| — мощность множества состояний.

Пусть система некоторого вычислительного комплекса задана на трех переменных X₁, X₂, X₃ представляющих состояние трех устройств комплекса: X_i = 0, если в момент наблюдения устройство не работает и X_i = 1 в обратном случае.

Пусть система некоторого вычислительного комплекса задана на трех переменных a₁, a₂, a₃, представляющих состояния трех его устройств: a_i = 1 если в момент наблюдения устройство работало, a_i = 0 в обратном случае.

Множество состояний этой системы и функция поведения приведены в таблице а). Добавим к комплексу еще одно устройство, которое представлено переменной X₄. Множество состояний новой системы состоящей из четырех переменных (X₁, X₂, X₄) и ее функция поведения представлены в таблице б). Используя понятие структурированной системы, найдем для подсистемы Sn=(X₁ X₂ X₃) системы S=(X₁ X₂ X₃ X₄) функцию поведения по формуле

f(d_k) = f(dx)

Ее значение приведено в таблице в). В таблице г) приведены три целевых функции f₁*, f₂*, f₃*.

Теперь найдем характеристические функции системы S=(X₁ X₂ X₃) относительно целевой функции поведения f₁*, f₂*, f₃*. Они имеют значения

ω(f₁, f₁*) = 0,3; ω(f₁, f₂*) = 0,55; ω(f₁, f₃*) = 0,85.

И для системы S = (X₁ X₂ X₃ X₄). Они имеют соответственно следующие значения

ω(f₂, f₁*) = 0,8; ω(f₂, f₂*) = 0,55; ω(f₂, f₃*) = 0,27.

Сравнивая изменения значение функции за счет добавлений переменной X₄

Δω_i = ω(f₂, fⁱ*) — ω(f₁, fⁱ*)

Получим соответственно значения Δω₁ = 0,5, Δω₂ = 0 и Δω₃ = -0,58. Эти значения показывают следующее. Относительно цели f₁* переменная X₄ является переменной выбора цели, относительно f₂* не является переменной выбора цели и для цели f₃* является переменной уклонения от цели.

Таким образом, приведенный пример показывает, что введенное понятие характеристической функции системы представляет собой инструмент системного анализа, который позволяет решить задачи оценки целенаправленности систем и оценки роли, переменных в обеспечении целенаправленности.