Под структурой системы понимается устойчивое множество отношений, которое сохраняется длительное время неизменным, по крайней мере в течение интервала наблюдения. Структура системы опережает определенный уровень сложности по составу отношений на множестве переменных и их значений или что эквивалентно, уровень разнообразий проявлений объекта.
Для приведенных уровней разнообразия справедливо соотношение S4CS3CS2CS1.
Формально структура представляет упорядоченности переменных и их значений по некоторому заданному относительно цели фактору. Физически (если такая интерпретация возможна) структура представляет аналитические и функциональные связи между элементами системы.
В системе заданной на множестве переменных X = [Xn, i={1,N}], каждая переменная изменяет свое значение в некоторой области значений заданной множеством физически различных значений Xn ={1,N}[Xn,k, k={1,N}]. Зафиксированное значение всех переменных относительно одного значения параметра представляет вектор состояния системы
Ci = [α1,k1, X2,k2, ..., XN, kN]
Множество всех возможных векторов состояний C = [Ci , i={1,|C|}], образует полное множество состояний, где |C| = ∏kn
Реально состояние системы не равнозначны. Одни более, другие менее предпочтительны, другие запрещены. Это обстоятельство задается в виде функции ограничения.
Состояние системы на полном множестве состояний неравнозначны. Одни состояние более другие менее предпочтительны, третьи практически не осуществлены. Неравнозначность состояния задается в виде функции ограничения. В общем случае она представляет собой отображение полного множества состояний:
f0: C → P,
где Р — заданное множество.
Предположим, что на множестве интервалов наблюдений объекта для функции ограничения справедливо условие:
f0 = 1, если с ⊂ C^,
f0 = 0, если с П ¬in; C^,
где с — вектор состояния системы, C^ — подмножество полного множества состояний.
В этом случае функция ограничения образует замкнутое множество состояний C^. Такие системы будем называть замкнутыми. В обратном случае, когда от интервала к интервалу наблюдения состав элементов C^ меняется, т.е. функция ограничена для интервалов наблюдений, f0i ≠ f0j не множественны, то система будет разомкнутой.
Рассмотрим отображение в интервале наблюдения Т множества моментов времени измерений примененных на множестве наблюдаемых состояний C^.
f0 : C^ → Т, Т → C^
Здесь возможны два случая. В одном отображение однозначно, в другим — многозначно.
В случае однозначного отображения, т.е. когда одному значению времени соответствует только одно состояние системы, последняя будет детерминированной. Если отображение многозначно, т.е. одному значению времени допускается два и более состояний, то система будет стохастической.
Для детерминированной системы функция ограничения имеет вид:
f0 = 1, если при t = ti, C = Ci
f0 = 0, если при t = ti, C ≠ Ci
У стохастической системы в момент наблюдения t = ti состояние системы С ∈ C^ является случайным. Ограничение полного множества состояний системы в этом случае задается нечеткими функциями типа вероятности, возможности, правдоподобности и др. В общем случае они представляют отображения вида:
f0 : |С| → [0,1]
При выборе функции ограничения исходят из соотношения мощности полного множества состояний |С| и мощности множества моментов наблюдения |Т|. Если |С| ≤ |Т|, то предпочтительной является функция вероятности. В обратном случае |С| ≥ |Т|, предпочтительней функция возможностей.
Функция вероятности задается в следующем виде:
Р = [Pt , t = {1,|T|}],
где Pt< = Nk/∑Nk
Nk — число наблюдаемых состояний Ck.
|Т| = ∑Nk — общее число наблюдений
Функция возможности определяется следующим образом:
W = [Wk, k={1,k}]
Где Wk = Nk/max Ni, i ∈ |С|
Из приведенных формул видно, что в первом случае наблюденное число состояний системы Ck нормируется относительно общего числа наблюдения |Т|, во втором относительное число состояний с наибольшим значением.
