Системная сложность

Мера нечеткости множества состояний системы

У стохастических систем полное множество состояния с позиции их допустимости представляет собой нечеткое множество.

При этом уровень нечеткости может меняться в значительных приделах. Например, если вероятности состояний P(C_i) = P(C_j) равны, то он максимальный, а при уровне P(C_i) = 1 он минимален. Поэтому естественно надо ввести меру нечеткости полного множества состояний уровня нечеткости.

Для вероятностных систем нечетность задается через множество вероятностей состояния системы в виде отображения

H : P → [0, ∞]

В качестве меры уровня нечеткости принята энтропия [ ]. Она определяется по формуле:

H = −∑p(C_i)log_p(C_i)

Из этой формулы видно, что если p(C_i) = 1, то Н = 0, при p(C_i) = 1/|C| H = log₂|C|.

Таким образом, величина энтропии монотонно меняется в пределах:

0 ≤ Н ≤ log₂|C|

Для систем с поперечным множеством состояний можно ввести нормированную энтропию:

H^ = H/log₂|C|

Ее величина меняется в области значений

0 ≤ Н^ ≤ 1

Для возможностных систем аналогично нечеткость вводится через множество возможностей. А мера уровня нечеткости через возможностную энтропию. С формулами расчета этой энтропии можно познакомиться в работе [ ].

Рассмотрим систему на множестве интервалов наблюдения [T₁, T₂, T₃, ...]. В этом случае возможно, что от интервала наблюдения H_i = H_j, уменьшает [H₁ > H₂ > H₃ > ...] или возрастает [H₁ < H₂ < H₃ < ...]. В зависимости от характера интервалов энтропии на множестве интервалов наблюдения различают системы:

• закрытые, если [H₁ < H₂ < H₃ < ...]
• открытые, если [H₁ ≥ H₂ ≥ H₃ ≥ ...]

Системная сложность рассматривается как условие для системных задач в виде предпочтения на множестве вариантов систем объекта. Мера системной сложности в этом смысле представляет размерность варианта задачи, по которой определяется временная и пространственная функция сложности алгоритма решения задачи, придел практической разрешимости задачи.

Анализ системной сложности должен дать ответ на следующие фундаментальные вопросы. Во-первых, о разрешимости. Если задача неразрешима, то необходимо ее переформулировка. Во-вторых, следует определить класс сложности задачи. Класс сложности задачи можно определить следующим показателями: приделом Бремермана, приделом возможностей вычислительной техники, приделом сложности варианта системы объекта.