Формула Бернулли.

Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1263; Нарушение авторских прав

Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами: событие А осуществилось и не осуществилось , причем вероятность этих исходов не меняется от испытания к испытанию. Вероятность наступления события А в каждом испытании обозначим через р, т.е. Р(А) = р. Тогда Р() = 1 – р = q. Пусть m – число (частота) наступления события А в n испытаниях. Обозначим через Р_m_{, n} – вероятность того, что частота появления события А равна именно m . Эта вероятность может быть посчитана по формуле Бернулли

= C_n^m ×p^m×q^n–m= p^m×q^n–m (1)

Числа Р_m_,n также интерпретируется как вероятность иметь ровно m осуществлений события А в n независимых испытаниях с двумя исходами. Вероятность того, что частота m появления события А в n испытаниях примет значение из промежутка [m₁, m₂] (m₁ £ m £ m₂) равна

Р_n (m₁ £ m £ m₂) = × p^k×q^n–k (2)

Вероятность того, что событие А хотя бы один раз наступит в n испытаниях вычисляется по формуле

Р _n (m ³ 1) = 1 – Р_0,_n = qⁿ

§2. Формула Пуассона.

Нередко приходится рассматривать эксперименты с большим числом испытаний. Нетрудно видеть, что для больших n и m вычисление вероятностей по формуле Бернулли представляется значительные затруднения, становятся очень громоздкими. В этом случае применяются приближенные формулы, позволяющие с достаточной степенью точности найти эти вероятности. Если число испытаний достаточно велико, а р мало и при этом произведение n×p – не больше 10, то вероятность Р_m_{, n} можно найти по формуле Пуассона

P = e ^–^l(3)

Вычисления по формуле (3) существенно упрощаются, если используются специальные таблицы.

Замечание.Вероятность того, что в испытаниях событие наступит: а) менее k раз ; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, – находят соответственно по формулам:

а) Р_0,_n + Р_1,_n + … + Р _k_–1,_n.

б) Р_k_+1,_n + Р _k_+2,_n + … + Р_n,_n.

в) Р_k,_n + Р_k+1,_n + … + Р_n,_n.

г) Р_0,_n + Р_1,_n + … + Р_k,_n.

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Формула полной вероятности. Формулы Байеса.	\|	Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.