Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

P(AВ) = P(A) × P(В) = P(В) × P(А).

P(A) > 0.

Теорема умножения вероятностей

P(A1 + А2 + … + Аn) = P(A1) + P(А2) + … + P(Аn).

Говорят, что события образуют полную группу, если сумма вероятностей этих событий равна 1.

Обозначим через событие противоположное событию А (т.е. если А происходит, то событие нет). Два противоположных события всегда образуют полную группу:

Отсюда

(6)

Если события A и В совместны, то теорема сложения (5) усложняется и принимает вид

P(A + В) = P(A) + P(В) – P(AB). (7)

Вероятность суммы трех совместных событий A, B, C находится уже по формуле

P(A + В + C) = P(A) + P(В) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).

Пусть A и B наблюдаемые события в эксперименте, причем

Определение. Вероятность события A, найденная в предположении, что событие B наступило, называется условной вероятностью события A относительно события B.

Условную вероятность события А относительно события B будем обозначать символом P(A/В).

Теорема. Вероятность произведения событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно взятого первым, т.е.

P(AВ) = P(A) × P(В/А) или P(AВ) = P(В) × P(А/В) (8)

Доказательство.Пусть их общего числа n единственно возможных, равновозможных и несовместимых случаев событию A благоприятствуют m случаев, из которых k благоприятствуют событию B. Тогда вероятность события В относительно события A есть P(В/А) = k / m.

Так как произведение AB событий A и B заключается в их совместном наступлении, то событию AB благоприятствуют k случаев из n и поэтому

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на m, получим

что и требовалось доказать.

События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого. Если события независимы, то формулы (8) принимают вид

Для нахождения условной вероятности одного из событий относительно другого могут быть использованы формулы (8). Так как условная вероятность события A относительно события В равна

.(9)

Рассмотрим примеры решения задач на теоремы сложения и умножения.

Пусть задана полная группа попарно несовместных событий Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n, т.е. сумма этих событий есть достоверное событие P(Н₁) + P(Н₂) + … + P(Н_n ) = 1. Событие А может появиться только вместе с одним из событий Н, т.е.

А = = А Н₁ + А Н₂ +… + А Н_n .

Тогда вероятность наступления события А может быть подсчитана по формуле

Р(А)==Р(Н₁)×Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)×Р(А/Н₂)+…+ Р(Н_n)×Р(А/Н_n) . (10)

Равенство (10) получило название формулы полной вероятности. События Н_i принято называть гипотезами по отношению к событию А. Если теперь в результате проведения опыта зафиксировано событие А, то это позволяет переоценить вероятности гипотез по формулам:

Р(Н_i / А) = , (11)

Где Р(А) – полная вероятность осуществления события А.

Равенство (11) получило название теоремы гипотез или Формулы Байеса.

Глава 2. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ