Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Рассмотрим вопрос о вычислении вероятности наступления события А ровно m раз в n независимых испытаниях, когда m и n достаточно велики и выполняется условие n×p×q ³ 20.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Р_{m, n} того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, находится по формуле

Р_{m, n} @ f(x) (4)

где x = (q = 1 – p)

а функция f(x) определяется равенством

f(x) = (5)

Формула (4) называется локальной формулой Муавра-Лапласа. С возрастание n относительная точность значений вероятностей Р, получаемых по ней, возрастает. Значения функции f(x), заданной формулой (5), находят по таблице. Следует также иметь в виду:

1. Функция f(x) является четной, т.е. f(–x) = f(x). Поэтому в таблице приведены значения функции (5) лишь для положительных значений аргумента.

2. Функция f(x) монотонно убывает при положительных значениях x, а предел ее при x ® ¥ равен нулю.

3. Если x > 5, то можно считать приближенно, что f(x) = 0.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях число наступлений события А окажется заключенным в границах от m₁ до m₂ включительно (m₁ < m₂), находится по формуле

P_n (m₁ < m < m₂) = Ф(x₂) – Ф(x₁) (6)

где x₁ = x₂ =

а Ф(x) = (7)

и называется функцией Лапласа, значение которой находится по таблице.

Формула (6) называется интегральной формулой Муавра-Лапласа.. Функция Лапласа Ф(x) обладает следующими свойствами:

1. Функция Ф(x) – нечетная, т.е. Ф(–x) = – Ф(x).

2. Функция Ф(x) – монотонно возрастающая.

3. Предел функции Ф(x) при x ® ¥ равен единице.

4. Для всех значений x > 5 можно считать приближенно Ф(x) = 1.

Из интегральной теоремы Муавра-Лапласа вытекает важное для приложений следующее следствие:

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях абсолютная величина отклонения числа m наступлений события А от произведения n×p не превзойдет положительного числа e , находится по формуле

Р_n(|m – n×p| £ e) @ Ф (8)

Из формулы (8) в свою очередь можно получить формулу оценки отклонения частоты m/n появления события А в n испытаниях от вероятностей р:

Р_n(|– p| £ e) @ Ф (9)

§4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число k₀ (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна p) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k₀ раз превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее числоk₀определяют из двойного неравенства

np – q £ k₀ < np + p, (1)

причем:

a) Если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее числоk₀;

b) Если число np – q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k₀ и k₀ + 1;

c) Если число np– целое, то наивероятнейшее числоk₀ = np;