Теорема сложения вероятностей

Геометрическое определение вероятности

Приведенное в §3 определение вероятности события получило название классического. Оно дает возможность рассматривать лишь события, которые распадаются на конечное число равновероятных случаев. А как быть в случае с бесконечным множеством исходов испытания? Классическое определение вероятности на этот вопрос ответа не дает. Поэтому обратимся к другому подходу к формулированию понятия вероятности случайного события.

С этой целью рассмотрим геометрическую модель введенных ранее понятий. Пространство событий (S, IM) отождествим с множеством W точек единичного квадрата, понимая под W также и достоверное событие. Любую фигуру A Ì W назовем событием. Под невозможным событием будем понимать любое множество плоской меры нуль, лежащее вW.

Под мерой плоского множества будем понимать площадь фигуры, которую образуют точки множества. Например, гладкая кривая имеет площадь, равную нулю, а значит и меру, равную нулю.

Рассматривая фигуру в Wкак множество точек, введем в W обычные теоретико-множественные операции. В частности, под событием , противоположным А, будем понимать дополнение А до W, т.е. = W – А и т.д.

Определение. Назовем вероятностью события А площадь фигуры А:

Р(А) = пл. А.

При этом будут выполняться следующие свойства:

1) Р(W) = 1;

2) Р(Æ) = 0;

3) 0 £ Р(А) £ 1 (площадь любой фигуры, целиком принадлежащей квадрату, не может превосходить его площадь);

4) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А×В);

5) Р() = 1 – Р(А).

Свойство 4 называют теоремой сложения для совместных событий. Убедимся в справедливости этой теоремы, исходя из геометрических соображений (см. рис. ниже).

Пусть А и В – две пересекающиеся фигуры, все точки которых принадлежат квадрату. Тогда площадь фигуры А + В будет равна сумме площадей фигур А и В минус площадь их общей части (иначе площадь пересечения фигур А и В будет сложена дважды: как площадь части фигуры А и одновременно, как площадь части фигуры В).

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместимых событий равна сумме их вероятностей.

Докажемтеорему для двух событий. Пусть из общего числа n единственно возможных, равновозможных и несовместимых случаев событию A благоприятствуют k случаев, а событию В – m случаев. Тогда вероятность этих событий

; . (4)

Сумме событий А + В благоприятствуют k + m случаев из n, поэтому вероятность события А + В есть

.

Очевидно

.

Принимая во внимание формулы (4), получаем

P(A + В) = P(A) + P(В) (5)

Далее методом математической индукции можно показать, что теорема сложения вероятностей справедлива для любого конечного числа несовместимых событий: