Комбинаторные правила вычисления вероятностей

Непосредственное вычисление вероятностей

Классическое определение вероятностей случайного события связано с испытанием, организованным следующим образом:

1.Испытание содержит конечное число исходов;

2.Все исходы испытания равновозможны, т.е. происходят одинаково часто, если число испытаний велико;

3.Любые два исхода не могут произойти одновременно (исходы несовместны).

Пусть Е множество всех случаев е_i (i = 1, 2, …, n), связанных с некоторым опытом, т.е. Е = {e₁, e₂, …, e_n}. Итак, имеем всего случаев n. Пусть далее событию А благоприятствуют m случаев из n.

Определение 2. Вероятностью события А называют отношение числа случаев, благоприятствующих А, к общему числу случаев.

Вероятность события А обозначается P(A). Таким образом, согласно данного определения

(1)

Это определение вероятности называется классическим.

Теорема. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Доказательство.Число m случаев, благоприятствующих любому событию, не может быть отрицательным и большим, чем их общее число n, т.е. 0 £ m £ n. Разделив это неравенство почленно на n, получим

или, учитывая равенство (1), 0 < P(A) < 1.

Если событие А достоверное, то m = n и тогда P(A) = 1. Таким образом, вероятность достоверного события равна единице. Если событие А невозможное, то m = 0 и тогда из (1) следует P(A) = 0. Вероятность невозможного события равна нулю.

Рассмотрим правила и формулы комбинаторики, позволяющие подсчитать возможные исходы опыта и указать те из них, которые благоприятствуют событию А.

Если опыт состоит в выборе m элементов из n без возвращения и без упорядочивания (без расположения элементов в определенном порядке), то результатом опыта следует считать комбинации (множества) из m элементов, имеющие различный состав. Получаемые комбинации элементов носят название сочетания из n элементов по m, а общее число таких комбинаций подсчитывается по формуле

(2)

где n! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × (n – 1) × n.

Событию А благоприятствуют только те исходы, когда один снимок принадлежит множеству Е₂, а остальные два – Е₁. Всего таких исходов подсчитываем по формуле

m₁ =

Согласно формуле (1) находим

P(A) =

Событию В благоприятствуют только те снимки, которые принадлежат множеству Е и поэтому

m₂ =

Таким образом

P(B) =

Если опыт состоит в выборе m элементов без возвращения, но упорядочением их по мере выбора в последовательную цепочку, то различными исходами опыта будут комбинации из упорядоченных элементов, отличающихся друг от друга либо набором элементов, либо порядком их следования. Получаемые комбинации элементов называются размещениями из n элементов по m, а их общее число определяется по формуле

(3)

где m! – количество перестановок (Р_m).

Схем выбора, приводящая к сочетаниям с повторениям, заключается в следующем: опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества Е = {e₁, e₂ , e_{3 ,}…,e_n}, но без последующего упорядочения. Различными исходами такого опыта будут возможные комбинации из m элементов, отличающиеся составом. Однако, в отличие, от сочетаний эти комбинации могут содержать повторяющиеся элементы. Например, при m = 4 комбинации {e₁, e₁, e₂ , e₁} и {e₂ , e₁, e₁, e₁} неразличимы, а зато комбинация {e₁, e₁, e₃, e₁}, будет новой отличной от двух первых.

Общее число сочетаний с повторениями подсчитывают по формуле: