Композиционные планы легко приводятся к ортогональным выбором соответствующего звёздного плеча(a) и преобразованием xi2. При этом достаточно обратить ту часть, которая связана со столбцами x0 и xi2, т.е. с коэффициентами b0 и bii.
Ортогональностью столбцов xi2 между собой производят изменением количества опытов в центре плана (n0), вследствии чего изменяется длина звёздного плеча (а).
Обычно количество опытов(n0) задаётся исследователем, а звёздное плечо вычисляется из следующих соотношений:
При k<5 a4+2ka2-2k-1(k+0.5n0)=0, (5.47)
При k>=5 a4+2k-1a2-2k-2(k+0.5n0)=0, (5.48)
Ортогональность столбцов x0 и xi2 достигается с помощью преобразований квадратичных столбцов по формуле:
, (5.49)
Вычислив значения a и проведя следующее линейное преобразование квадратичных столбцов , получим ортогональную матрицу центрального композиционного плана второго порядка для к=2 и n0=1 (таблица 11.3).
;
Величина звездного плеча, вычисленная по формуле (11.5) равна 1, т.е.
a = 1.
Таблица 11.3 – Матрица планирования экспериментов
N
X0
X1
X2
X1X2
X12
X22
Y
Y
+1
+1
+1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
-1
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
+1
+1
+1
+1
+1
-1
+1
-1
0.33
0.33
-0.67
-0.67
-0.67
-0.67
0.33
0.33
+1
-0.67
-0.67
Аналогично ведётся расчет для x2.
Благодаря ортогональности матрицы планирования, все коэффициенты уравнения регрессии независимы друг от друга и рассчитывается методом наименьших квадратов по формулам:
(5.50)
, (5.51)
В результате расчётов по матрице с преобразованными столбцами xi2 получим уравнение регрессии:
Для того, чтобы перейти к обычной формуле уравнения необходимо пересчитать В0 по формуле:
(5.52)
И оценивают b0 с дисперсией, равной
(5.53)
Подставляя полученное значение b0 в уравнение регрессии получим его в следующем виде:
Y=b0+b1x1+b2x2+b12 x1x2+b11x12+b22x22
Далее проводим регрессионный анализ по первой схеме , т. е при наличии параллельных опытов.
1. Вычисляют построчные математические ожидания:
(5.54)
Где m-количество параллельных опытов.
2. Вычисляют построчные дисперсии:
(5.55)
3. Проверяют однородность дисперсий по критерию Кохрена (G):
(5.56)
Если Gр<Gтабл -дисперсии однородны
4. Вычисляют общую дисперсию воспроизводимости:
(5.57)
На практике иногда применяют несколько иной способ вычисления дисперсии воспроизводимости.
В любой точке плана (чаще в центре плана) проводят несколько параллельных опытов и по ним рассчитывают выборочную дисперсию, которую и принимают за дисперсию воспроизводимости. В этом случае расчёт проводят следующим образом:
а) вычисляют выборочное математическое ожидание:
(5.58)
(5.59)
Эту дисперсию принимают за дисперсию воспроизводимости , т. е
Если tp>tтабл,–коэффициент значим , в противном случаи незначим и из уравнения исключается. Оставшиеся коэффициенты bI пересчитывать не нужно, т. к. матрица ортогональна и коэффициенты не зависят друг от друга .
6.Проверка адекватности уравнения регрессии:
(5.61)
(5.62)
где Fp–критерий Фишера;
S 2ад – дисперсия адекватности;
l – количество значимых коэффициентов bi;
n – количество опытов;
- экспериментальный параметр оптимизации;
- расчётный параметр оптимизации.
Если Fp<Fтабл – уравнение адекватно и можно проводить исследование поверхности отклика , а затем оптимизацию технологического процесса. В противном случае уравнение неадекватно и следует перейти к планам более высокого порядка.
Лекция 15
а) Решение задачи оптимизации.
б) Исследование поверхности отклика второго порядка.
в) Классификация поверхностей отклика второго порядка.