Если математическая модель выражена уравнением второго порядка, то выбор метода оптимизации зависит от вида поверхности отклика. По виду уравнения регрессии обычно не удается установить вид поверхности. Поэтому приходится прибегать к математическим методам исследования. Для этого переходят от полинома второго порядка:
Преобразование уравнения регрессии из кодированного вида в канонический рассмотрим на примере двухфакторной математической модели.
Схема расчета:
1) определяют координаты центра поверхности отклика (s). Для этого необходимо решить систему уравнений:
¶у/¶х1=0
¶у/¶х2=0
или
в1+в12*х2+2в11*х1=0
в2+в12*х1+2в22*х2=0 (5.65)
Решение полученной системы уравнений дает координаты центра поверхности х1s и х2s:
х1s=(в2*в12-2в1*в22)/(4в11*в22-в122);
х2s=(в1*в12-2в2*в11)/(4в11*в22-в122).
Подставив х1s и х2s в уравнение регрессии (5.63), получим значение уs – параметра оптимизации в центре поверхности.
2) перенесем начало координат в точку S(х1s, х2s, уs).
При этом старые координаты связаны с новыми х'1, х'2, у' соотношениями:
х1=х1s+х'1; х2=х2s+х'2; у=уs+у'.
Подставив полученные соотношения в уравнение (12.1) и проведя алгебраические преобразования, получим следующее уравнение:
Ŷ - уs=в11(х'1)2+в22(х'2)2+в12,х'1х'2
3) На следующем этапе при помощи поворота осей координат освободимся от эффекта взаимодействия. Для этого необходимо повернуть оси координат на такой угол a, чтобы ctg2a=(в11-в22)/в12.
Тогда получим в новой системе координат Х1, Х2, У. Уравнение регрессии в каноническом виде:
Ŷ - уs=В11*Х21+В22*Х22
Старые координаты (х1,, х2) связаны с новыми (Х1, Х2) соотношениями
х1=(Х1+х1s)cosa - (Х2+х2s)sina
х2=(Х1+х1s)sina + (Х2+х2s)cosa (5.66)
4) Определение канонических коэффициентов. Для вычисления составляют характеристический детерминант (определитель):
(в11-В) 0,5*в12…………0,5*в1к
0,5*в12 (в22-В)…………0,5*в2к (5.67)
0,5*вк1 0,5*вк2 (вкк-В)
В результате решения получаем уравнение:
(в11-В)*(в22-В)-0,5*в12*0,5*в21=0
После преобразований получим уравнение вида:
А*х2+В*х+С=0
Находят корни уравнения по формуле:
Получим В11=х1; В22=х2
Из аналитической геометрии известно, что поверхности второго порядка классифицируют по их каноническим формам:
а) Все коэффициенты имеют одинаковые знаки. Поверхность - эллиптический параболоид. В центре поверхности максимум при Вii<0 и минимум – при Вii>0.
б) Коэффициенты имеют разные знаки. Поверхность – гиперболический параболоид (седло). В центре поверхности – «минимакс».
в) Один из коэффициентов близок к нулю. При этом центр лежит далеко за областью экспериментирования. Поверхность – «возрастающее возвышение» (гребень).
Таким образом определяем вид поверхности отклика. Трудности геометрической интерпретации уравнения регрессии второго порядка возрастают с увеличением количества факторов. При к>3 дать наглядное геометрическое представление функции отклика невозможно. Однако , и в этом случае каноническое преобразование дает хорошие результаты, если последовательно рассматривать изменение двух факторов, считая остальные стабильными. Такой прием позволяет получить серию контурных кривых на плоскости для количества факторов к>3. Однако, объемное изображение функции отклика при к=3 также не дает исследователю особых преимуществ. Поэтому на практике для исследования поверхности и оптимизации выбирают два фактора, наиболее сильно влияющих на процесс, а остальные факторы стабилизируют при этом на центральном уровне. Если полученный результат не удовлетворяет исследователя, то процесс повторяют с другой комбинацией факторов до тех пор, пока не получат желаемый результат.
Лекция 16
а) Методы оптимизации.
б) Решение задач оптимизации в случае поверхности отклика – эллиптический параболоид.
в) Метод движения вдоль канонических осей.
г) Метод «Ридж - анализ».
д) Контрольные вопросы.
5.9.2 Методы оптимизации
Выбор метода оптимизации процесса зависит от вида поверхности отклика. Если поверхность отклика представляет собой эллиптический параболоид, выбор оптимальных режимов не вызывает затруднений.
В случае на задачу максимум параметра оптимизации, оптимальные условия будут соответствовать координатам поверхности, если знаки коэффициентов отрицательны и центр расположен внутри изученной области факторного пространства. Если канонические коэффициенты положительны, то оптимальные условия будут на границе изученной области факторного пространства. В данном случае для вычисления значений факторов в оптимальном режиме необходимо в уравнение регрессии (1) подставить различные комбинации факторов х1 и х2 и вычислять значения у до тех пор пока не получим желаемый результат параметра оптимизации.
Например, можно задать следующие комбинации факторов:
Область факторного пространства в планах второго порядка ограничивается звездными точками (a).
Решение на минимум параметра оптимизации проводят в обратном порядке.
При выборе оптимальных условий допускается некоторая экстраполяция с обязательной экспериментальной проверкой.
Если же поверхность отклика – гиперболический параболоид, то определение оптимальных режимов несколько усложняется. Здесь необходимо применять определенные методы оптимизации. Рассмотрим два метода, наиболее часто применяемых на практике в силу их простоты и надежности.
Первый метод – движение вдоль канонических осей.
Исходными данными здесь является уравнение регрессии в каноническом виде. В соответствии с поставленной задачей в канонической системе координат выбирают ось вдоль которой параметр оптимизации изменяется в желаемом направлении и с максимальной скоростью (канонический коэффициент имеет соответствующий знак и максимум по абсолютной величине). Затем, задаваясь различными значениями параметра оптимизации, вычисляют соответствующие им режимы и подвергают их опытной проверке. В связи с симметрией поверхности отклика каждому значению параметра оптимизации соответствует 2 режима. Поиск оптимального режима без исследования поверхности отклика обычно дает возможность выявить только один из этих режимов, причем, экспериментатор даже не подозревает о существовании второго режима, который может оказаться весьма интересным с точки зрения технологии.
В качестве примера рассмотрим применение этого метода к задаче с двумя факторами. Уравнение в канонической форме имеет следующий вид:
Ŷ - уs=В11Х21-В22Х22, (5.68)
Положим, что в задаче требуется определить режим получения максимального выхода химического вещества. Тогда Ŷ>уs, а движение осуществляется вдоль оси Х1. При этом Х2=0 и уравнение приобретает вид:
Ŷ - уs=В11*Х21, откуда
В формулу вместо Ŷ подставляем желаемое значение параметра оптимизации и получаем два значения фактора Х1, т.е. получаем два оптимальных режима:
1-ый режим: Х1=+ ( ( Ŷ - уs)/В11)^1/2, Х2=0;
2-ой режим Х1=- ( (Ŷ - уs)/В11)^1/2, Х2=0.
Значения факторов получены в каноническом виде. Перевод из канонического в кодированный вид осуществляется по формулам (5.66). Далее следует перевести значения факторов в натуральный вид:
Хi=Xiц + xilI (5.69)
Выбор более эффективного оптимального режима производят исходя из технологических и экономических соображений.
При решении задачи на минимум параметра оптимизации задаются соотношением Ŷ<уs и движутся вдоль оси, соответствующей отрицательному каноническому коэффициенту. В этом случае:
Х1=0 Х2=±((Ŷ - уs)/-В22)^1/2
Схема расчета аналогична описанной выше.
Второй метод – «ридж-анализ».
«Ридж-анализ» базируется на методе неопределенных множителей Лагранжа. Для выбора оптимальных режимов составляют следующую систему уравнений:
Количество уравнений в системе равно (к) – количеству факторов. Решение системы может быть осуществлено только при заданных значениях l. Выбор значений неопределенного множителя Лагранжа зависит от типа задачи. В случае задачи на максимум параметра оптимизации рекомендуется выбирать величину l таким образом, чтобы она была больше максимального из канонических коэффициентов. В случае задачи на минимум выбранное значение l должно быть меньше наименьшего из канонических коэффициентов. На изменения величины l накладывается ограничение, определяемое параметром Хорля:
l' = 2(Вmax,min-вкк),
где Вmax,min - максимальный или минимальный (в зависимости от задачи) канонический коэффициент,
вкк - коэффициент регрессии при к-ом квадратичном члене уравнения в кодированном виде.
Использование параметра Хорля дает возможность сузить интервал изменения значений неопределенного множителя Лагранжа до величины, определяемой следующими неравенствами:
Если необходим Уmax,
l΄>=l>Вmax,
в случае Уmin:
l'<= l<Вmin.
При этом изменение параметра оптимизации в желаемую сторону соответствует изменению l в направлении от параметра Хорля к соответствующему каноническому коэффициенту. На практике обычно задаются несколькими значениями неопределенного множителя Лагранжа.
Затем в уравнение регрессии (12.1) в кодированном виде подставляем полученные значения х1 и х2, вычисляем параметр оптимизации. Если полученное значение У не соответствует желаемому результату, изменяем значение неопределенного множителя Лагранжа, вычисляем х1 и х2, вычисляем У и так до тех пор пока не получим желаемый результат. Оптимальный режим получаем в кодированном виде, который затем переводим в натуральный по известной формуле (5.69).
Контрольные вопросы
1 Объяснить в чем сущность пассивного и активного экспериментов. В чем отличие активного и пассивного экспериментов, выполняемых в лабораторных условиях?
2 Перечислите виды параметров оптимизации и требования к ним. Что такое ранжирование факторов?
3 Перечислите виды факторов и требования, предъявляемые к ним. Дайте определение уровней факторов и интервалов варьирования.
4 В чем сущность полного факторного эксперимента. Порядок построения плана.
5 Кодирование переменных, правило построения матрицы. Рандомизация.
6 Перечислите свойства матрицы ПФЭ.
7 В чем сущность дробного факторного эксперимента? Дать определение понятий: дробная реплика, генерирующие соотношения, определяющие контрасты, смешанные оценки, насыщенные планы.
8 Обосновать порядок выбора плана ДФЭ .
9 Сущность и порядок регрессионного анализа.
10 В чем сущность метода симплексного планирования эксперимента?
11 Опишите порядок построения плана.
12 Отличается ли статистическая обработка результатов в этом методе от планов первого порядка?
13 Как интерпретировать результаты математического моделирования?
14 Какие решения принимаются после построения математической модели процесса (модель адекватна, модель неадекватна)?
15 В чем сущность оптимизации технологического процесса?
16 Сущность метода Гаусса-Зейделя.
17 Сущность градиентных методов.
18 Порядок расчета метода Бокса-Уилсона (метода крутого восхождения).
19 Охарактеризовать основные ситуации, возникающие в результате реализации метода Бокса – Уилсона и какие решения, в связи с этим, принимаются.
20 Сущность симплексного метода оптимизации.
21 Объясните, в каком случае переходят к планам второго порядка.
22 Опишите порядок построения план ПФЭ планов второго порядка.
23 Объясните в чем отличие матрицы ПФЭ плана второго порядка от матрицы плана первого порядка.
24 Обоснуйте необходимость применения центральных композиционных планов.
25 Опишите прядок достройки матрицы ПФЭ до центральных композиционных планов.
26 Обоснуйте необходимость применения ортогональных центральных композиционных планов.
27 Опишите порядок преобразования матрицы планирования в ортогональный вид.
28 Чем вызвана необходимость исследования поверхности отклика второго порядка?
29 Опишите порядок исследования поверхности отклика.
30 Как вычислить коэффициенты канонического уравнения регрессии?
31 Как классифицируются поверхности отклика по каноническим формам?
32 Расскажите, как получить оптимальный режим, если поверхность отклика – эллиптический параболоид?
33 В чем сущность метода оптимизации – движение вдоль канонических осей?
34 В чем основное преимущество этого метода?
35 В каком виде по этому методу получают оптимальный режим и как его перевести в натуральный вид?
36 В чем сущность метода – «ридж-анализ»?
37 В каком интервале должен находиться неопределенный множитель Лагранжа?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Математическое моделирование имеет большое значение для химической технологии. Современная химическая промышленность имеет дело со столь сложными процессами и предъявляет к ним столь высокие требования, что разработать процесс без применения методов моделирования и оптимизации просто невозможно.
Математическая модель дает уникальную возможность исключительно быстро и экономично «проиграть» на ЭВМ множество предполагаемых вариантов реализации технологического процесса, что чрезвычайно расширяет кругозор инженера-технолога. Это проявляется особенно ярко, когда математическое моделирование приводит к неожиданным выводам.
Хорошая математическая модель содержит в скрытом виде очень много информации об оригинале, в том числе и такой, о которой не подозревает исследователь. Если описание процесса очень сложно и разуму не удается непосредственно извлечь из него скрытую информацию, необходимо привлечь математическое моделирование.
В процессе изучения данного курса студенты освоили основные методы планирования эксперимента и оптимизации технологического процесса. Узнали, как выбрать и реализовать план многофакторного эксперимента, дающего возможность получить математическую модель процесса при значительном сокращении количества экспериментов, что приводит к значительному снижению затрат на исследования и сокращению сроков разработки новых химико – технологических процессов.
Студенты научились проводить статистическую обработку результатов эксперимента и разрабатывать оптимальный режим технологического процесса, применяя современные методы и средства для выполнения необходимых расчетов. Узнали, как интерпретировать результаты математического моделирования, т.е. провести оценку величины и направления влияния отдельных факторов и их взаимодействий, сопоставить влияние совокупности факторов, проверку правильности априорных представлений и, в некоторых случаях, проверку и выдвижение гипотез о механизме процесса.
Полученные знания и умения могут быть использованы при выполнении курсовых и дипломных работ, а главное, в дальнейшей профессиональной деятельности.
В рамках изучаемого курса невозможно охватить всего многообразия существующих в настоящее время методов планирования и оптимизации технологических процессов. Этот курс является лишь введением в моделирование химико-технологических процессов, но в дальнейшем, в случае необходимости, этого объема знаний достаточно для того, чтобы разобраться в более сложных методах химической кибернетики.
в1+в12*х2+2в11*х1=0
(в11-В) 0,5*в12…………0,5*в1к
(в11-l)*х1+0,5*в12*х2+……….+0,5*в1к*хк+0,5*в1=0
(в11-l)*х1+0,5*в12*х2+0,5*в1=0