Центральные композиционные планы.

Сократить количество опытов можно, если воспользоваться композиционными или последовательными планами, предложенными Боксом и Уилсоном. Ядро таких планов составляет:

при k<5 – ПФЭ планов первого порядка типа 2^k;

При k>5 – ДФЭ планов первого порядка типа 2^k-1.

Обычно применяют центральные композиционные планы 2-го порядка. Центральными их называют вследствие симметричности относительно центра плана. Композиционными называют потому, что они компонуются путём добавления определённого количества опытов к плану 1-го порядка. Поэтому, если линейное уравнение плохо описывает процесс (уравнение неадекватно),то не нужно ставить все опыты заново, достаточно добавить несколько опытов, т. е. достроить план до планов 2-го порядка.

Порядок достройки плана:

1) к точкам ПФЭ плана 1-го порядка добавляют 2k звёздных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства на одинаковых расстояниях от центра плана. Величину a называют звёздным плечом.

Для разных вариантов планов звёздное плечо имеет разные значения;

2) к точкам ПФЭ плана 1-го порядка добавляют один или несколько параллельных опытов в центре плана.

Общее количество опытов в матрице при k факторах составляет:

При k<5

(5.44)

При k>5

(5.45)

где n₀ - количество опытов в центре плана.

Построение матрицы композиционного плана 2-го порядка рассмотрим на примере двухфакторной математической модели (k=2)

n=2²+2*2+1=9

Значениями факторов в кодированном виде будут координаты вершин области факторного пространства и координаты звёздных точек. Величина звёздного плеча и количество опытов в центре плана n0 зависят от выбранного плана.

Матрица планирования экспериментов представлена в таблице5.8.

Уравнение, соответствующее этой матрице:

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂+b₁₁x₁²+b₂₂x₂² (5.46)

 

Таблица 5.8 – Матрица планирования экспериментов

n	X0	X1	X2	X1X2	X1^2	X2^2	Y1	Y2
	+1 +1 +1 +1	-1 +1 -1 +1	+1 +1 -1 -1	-1 +1 +1 -1	+1 +1 +1 +1	+1 +1 +1 +1
	+1 +1 +1 +1	+a -a	+a -a		a^2 a^2	a^2 a^2
	+1

 

Применение композиционных планов позволяет сократить количество опытов в матрице. Так, для k=3 количество опытов в ПФЭ равен 27, а в композиционных планах n=15.

Недостатком этих планов является нарушение ортогональности между столбцами x_i² и между столбцами x₀ и x_i². Это приводит к тому, что соответствующие коэффициенты уравнения закоррелированы и после исключения незначимых коэффициентов оставшиеся необходимо пересчитывать заново.

На практике применяются ортогональные, центральные композиционные планы.