Почему движение по градиенту начинают из центра плана?

Как влияют на крутое восхождение соотношения численных значений коэффициентов уравнения регрессии?

Если в адекватном уравнении регрессии значим один коэффициент, т.е. многофакторная задача вырождается в однофакторную, то задача оптимизации менее эффективна. Следует выявить причины такого результата, устранить их и получить многофакторную математическую модель.

Коэффициент В₀ на расчет градиента влияния не оказывает.

Качественные факторы фиксируют на одном уровне.

Незначимые факторы стабилизируют на любом уровне(0,+1,1), руководствуясь чисто технологическими или экономическими соображениями .

На практике чаще всего встречаются случаи, когда коэффициенты уравнения различны по значению, но остаются значимыми.

Движение по градиенту наиболее эффективно если уравнение регрессии имеет симметричный вид, т.е. коэффициенты уравнения различаются между собой не более, чем на порядок. На первом этапе планирования эксперимента не всегда удается получить симметричную функцию отклика. Если функция резко асимметрична, то выгоднее вновь поставить эксперимент, изменив интервалы варьирования по факторам, которые более чем на порядок отличаются от других и, получив симметричную функцию, осуществить движение по градиенту.

Движение по градиенту начинают из нулевой точки, т.к. функция отклика, вид которой был неизвестен, разлагалась в ряд Тейлора в окрестности нулевой точки. Именно к этой точке и относится оценка градиента.

Достоинства метода: высокая скорость движения к оптимуму, высокая эффективность и точность. Метод эффективен при пологих поверхностях отклика.

Недостатки метода: метод требует наличия математической модели процесса.

5.7.4 Симплексный метод оптимизации

Одним из методов поиска оптимального режима процесса является метод симплексов. Чаще всего для этого применяют регулярные симплексы.

Для оптимизации используется следующее важное свойство симплексов: напротив любой из его вершин А_i расположена только одна грань, на которой можно построить новый симплекс, отличающийся от прежнего расположением новой вершины , тогда как остальные вершины обоих симплексов совпадают. Последовательным исключением вершин осуществляется перемещение исходного симплекса в пространстве.

Суть этого метода очень проста:

Симплексным методом планируют исходную серию опытов и проводят эксперимент , получают значения параметра оптимизации. Затем выявляют вершину симплекса, отвечающую условиям, при которых получают наихудший параметр оптимизации Y, т.е. наименьший Y- если находим Y максимальный и наибольший Y – если требуется найти Y минимальный. Затем строится новый симплекс, для чего наихудшая точка исходного симплекса заменяется новой, расположенной симметрично относительно центра грани симплекса, находящегося напротив наихудшей точки, т.е. проводится отражение наихудшей точки относительно центра противоположной грани симплекса. Таким образом находятся условия для проведения нового опыта взамен исключенного. Процедуру повторяют до тех пор, пока следующая операция не вернет симплекс в предыдущее положение.

При достижении оптимальной точки, симплекс начинает вращаться вокруг нее.

При этом возможны 2 случая. Либо данные в точках последнего симплекса ошибочны, либо две противоположные плохие точки расположены по обе стороны гребня поверхности отклика. В последнем случае следует отказаться от выбранного направления и попытаться осуществить движение по другому, благоприятному направлению (при большом количестве факторов может быть несколько благоприятных направлений).

Область оптимума можно считать достигнутой, когда одна и та же точка будет повторяться в Q последовательных симплексах. Величина Q вычисляется по формуле:

Q = 1.65к + 0,05к² , (5.37)

где к – количество факторов.

Для к=2, Q=1,65*2 + 0,05*2² = 3,5 Q3.

Вычисления проводят следующим образом:

1. Вычисляют координаты центра грани, лежащей напротив наихудшей вершины симплекса ( Х_c)

, (5.38)

где Х_m - координата наихудшей точки симплекса;

X_ij - координаты предыдущих вершин симплекса.

2. Затем вычисляют координаты очередной вершины симплекса, т.е. условия проведения опыта в отраженной точке:

X_i+1 = 2X_c – X_m, (5.39)

Полученные значения X_i подставляют в уравнение регрессии (10.3), вычисляют Y_i , сравнивают с оставшимися Y_i , исключают наихудший результат Y_i и повторяют весь цикл заново, пока не получат желаемый результат Y_оптим.

Экспериментальное сравнение поиска оптимума методом симплексов и методом крутого восхождения показало, что оба метода приводят практически в одну оптимальную точку факторного пространства.