Полный факторный эксперимент – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов.

Полный факторный эксперимент

Необходимое количество опытов (n) при этом определяется по формуле:

(5.2)

где N – количество уровней факторов,

k– количество факторов.

Порядок построения плана:

а) на основании априорной информации выбираем наилучшие условия проведения эксперимента и принимаем эту точку за центр плана. Значения факторов в этой точке называют основным, нулевым или центральным уровнем (Х_i^ц);

б) выбираем интервал варьирования для каждого фактора (l) и вычисляем верхний (Х_i^в ) и нижний (Х_i^н) уровни факторов.

Х^в = 300, Х^н = 100, l = 100.

Интервал варьирования – это число (свое для каждого фактора) прибавление которого к основному дает верхний уровень, а вычитание из основного – нижний. Или иными словами – это расстояние на координатной оси между центральным и верхним (нижним) уровнем фактора.

(5.3)

Известно, что оптимальными свойствами обладают планы первого порядка, в которых каждый фактор принимает лишь два значения, варьируется на двух уровнях, верхнем и нижнем.

Мы будем изучать только такие планы.

в) кодируем переменные по формулам:

(5.4)

где х^в, х^н – верхний и нижний уровни факторов в кодированном виде;

Х^в, Х^н – верхний и нижний уровни факторов в натуральном виде.

Кодирование переменных проводят для упрощения вычислений и интерпретации полученных результатов. Координаты центра плана равны 0.

(5.5)

г) строим матрицу планирования.

Рассмотрим построение матрицы планирования на примере двухфакторного эксперимента.

K=2 n=2²=4

Допустим Х₁ – температура, Х₂ – давление.

Х₁ – принимает значения: Х₁^в=300⁰С, Х₁^н=100⁰С, Х₁^ц=200⁰С.

Х₂ – принимает значения: Х₂^в=3атм, Х₂^н=1атм, Х₂^ц=2атм.

Область факторного пространство для данного эксперимента будет иметь вид (рис. 1) квадрата с вершинами 1,2,3,4.

Перенесем начало координат в точку 5, то есть в центр области факторного пространства. Это действие соответствует переходу к новой безразмерной системе координат с началом в центре исследуемой области.

Рисунок 5.1 – Область факторного пространства

Координаты точек в новой системе записывают в виде таблицы, называемой матрицей планирования эксперимента (а). Этой матрице соответствует матрица в натуральном виде (б).

Таблица 5.1 Матрицы планирования эксперимента

Каждая строка полученной матрицы – это условия проведения одного опыта, в результате которого получают значение параметра (У).

Правило построения матрицы:

-первый столбец матрицы – фиктивная переменная х₀ всегда равна (+1);

-второй столбец – равномерное чередование знака (+) и (-) в столбце(+1,-1, +1,-1) и т.д.;

-третий столбец – чередование двух строк одного знака, двух другого;

-к-ый столбец – чередование 2^(к-1) одноименных знаков.

Например, в 5-ом столбце 2⁴=16 знаков +1 и 16 – минус 1 .

Свойства матрицы ПФЭ типа 2^k:

Мы научились строить матрицы ПФЭ с факторами на 2 уровнях (в кодированном виде). Теперь выясним какими свойствами эти матрицы обладают независимо от количества факторов.

Первые два свойства следуют непосредственно из построения матрицы.

1 свойство – симметричность относительно центра эксперимента. Формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна 0 , или

(5.6)

2 свойство – так называемые условия нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна количеству опытов, или

(5.7)

Эти два свойства позволяют значительно упростить вычисление коэффициентов в_i и дисперсий s_вi .

3 свойство – ортогональность матрицы планирования - сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна 0.

(5.8)

где j не равенu j,u= 0,1,2…k.

Это свойство позволяет вычислять коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, поэтому после исключения незначимых коэффициентов из уравнения не требуется перерасчет оставшихся коэффициентов b_i.

4 свойство – ротатабельность - точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

д) проводим эксперимент по матрице.

Каждая строка матрицы – это условие проведения одного опыта. В результате эксперимента получаем значение параметра оптимизации (У). Причем, все опыты дублируются для того чтобы можно было рассчитать дисперсию воспроизводимости. Установлено, что наилучших результатов достигают, если проводят не менее 3 параллельных опытов. Порядок опытов в матрице не должен определять реальную последовательность проведения опытов. Опыты должны быть рандомизированы во времени, то есть выполняться в случайном порядке. Особенно это касается параллельных опытов.

е) проводим регрессионный анализ результатов(статистическую обработку результатов).

Обычно, реализуя активный эксперимент проводят одинаковое количество параллельных опытов. Поэтому и применяют первую схему регрессионного анализа ,согласно которой вычисляют:

а) построчные математические ожидания (`y_i):

(5.9)

где m – количество параллельных опытов;

y_i – результаты эксперимента;

в) построчные дисперсии (S_i²):

(5.10)

г) проверяют однородность построчных дисперсий по критерию Кохрена:

(5.11)

если G_p <G_табл. – дисперсии однородны,

где G_р – расчетный критерий Кохрена,

G_табл – табличный критерий Кохрена,

S²_max – максимальная построчная дисперсия,

n – количество опытов;

д) дисперсию воспроизводимости (S²_воспр):

(5.12)

е) методом наименьших квадратов вычисляем коэффициенты уравнения регрессии (в_i ). В связи с тем, что матрица планирования симметрична и нормирована формулы для вычисления в_i значительно упрощаются и

выглядят следующим образом:

(5.13)

где x_ij – значения факторов в кодированном виде;

(5.14)

ж) проверяем значимость коэффициентов в_i по критерию Стьюдента:

(5.15)

где t_p –расчетный критерий Стъюдента;

S_bi – дисперсия коэффициентов b_i ;

t_табл.- табличный критерий Стъюдента.

(5.16)

если t_р>t_табл. – коэффициент в_i значим, в противном случае – не значим. Исключаем незначимые факторы из уравнения регрессии.

Значимость коэффициента bi свидетельствует о том, что фактор, соответствующий этому коэффициенту, оказывет существенное влияние на процесс .В противном случае, фактор в пределах области факторного пространства не оказывает существенного влияния на процесс и поэтому из дальнейших расчетов исключается.

з) проверяем адекватность уравнения регрессии по критерию Фишера (F):

(5.17)

где Fр – расчетный критерий Фишера;

S_ад² – дисперсия адекватности;

S_воспр² – дисперсия воспризводимости.

(5.18)

где у_i^р - расчетный параметр оптимизации;

l– количество значимых коэффициентов в уравнении регрессии, считая b₀.

Находим табличный критерий Фишера, который зависит от степеней свободы числителя и знаменателя.

Значения степеней свободы для числителя (f_ч) и знаменателя(f_зн) вычисляют по формулам:

f_ч = n – l; f_зн = (m – 1).(5.19)

Если F_р<F_табл. – уравнение адекватно. В противном случае –неадекватно и следует перейти к планам более высокого порядка.

5.4.2 Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)

Количество опытов в ПФЭ значительно превосходит количество определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. В таблице 2 показано соответствие количества факторов количеству экспериментов в ПФЭ.

Таблица 5.2 – Зависимость количества экспериментов (n) от количества факторов (к)

Необходима минимизация опытов. Количество опытов резко сокращается при использовании дробных реплик от ПФЭ, т.е. дробного факторного эксперимента.

Эксперимент, в котором применяется лишь некоторая часть сочетаний уровней факторов, в отличие от ПФЭ, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ).

Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать ПФЭ для меньшего количества опытов. Количество опытов при этом должно быть большим или равным количеству коэффициентов в уравнении регрессии.

(к+ 1)£ n < 2^k

Допустим, что надо получить математическую модель для трехфакторного процесса ( n =2³ = 8 ).Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в матрице планирования для ПФЭ 2² использовать столбец x₁x₂ в качестве плана для x₃ (таблица 3). Построим расширенную матрицу планирования экспериментов, т.е. матрицу, содержащую столбец взаимодействия факторов (x₁x₂).

При варьировании факторов на двух уровнях можно получить полином первого и неполного высшего порядка, то есть результаты эксперимента можно представить в виде неполного квадратичного уравнения:

Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂ (5.20)

Таблица 5.3 – Расширенная матрица планирования экспериментов

Если имеется основание считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить 3 коэффициента в₀ , в₁ , в₂ .

Остается одна степень свободы. Употребим ее для минимизации количества опытов.

Предположим в₁₂ 0 и столбец х₁х₂ можно использовать для нового фактора х₃, т.е. заменим x₁x₂ на x₃.,элементы столбца при этом не изменяются. В результате этих преобразований получаем математическую модель следующего вида:

Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ (5.21)

Каковы при этом будут оценки коэффициентов?

Здесь уже не будет тех раздельных оценок, которые мы имели в ПФЭ – 2^k

где β – математическое ожидание для соответствующих коэффициентов.

Но мы можем считать, что все парные взаимодействия не значимы. Главное, мы нашли средство минимизировать число опытов. Вместо 8 можно поставить 4 опыта и получить те же результаты. При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств.

Найденное правило можно сформулировать так: чтобы сократить количество опытов нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.

Для того чтобы определить смешанность оценок коэффициентов, удобно пользоваться таким приемом: поставив в матрице x₃ на место x₁x₂ , получаем соотношение x₃ = x₁x₂ , называемое генерирующим соотношением.

Умножим обе части генерирующего соотношения на x_3:

x₃² =x₁x₂x₃, x₃² = 1, I = x₁x₂x_3..

Полученное выражение называется определяющим контрастом. При помощи этих характеристик определяют смешанность оценок коэффициентов уравнения регрессии. Умножив по очереди определяющий контраст на x₁, x₂, x₃ получим:

x₁ = x₁²x₂x₃ = x₂ x_3, x₂ = x₁x_3, x₃ = x₁x_2..

Следовательно , коэффициенты b_i будут оценивать сумму коэффициентов, т.е. коэффициенты будут менее точными, чем в ПФЭ,

b₁ = b₁ + b₂₃, b₂ = b₂ + b_13, b₃ = b₃ +b₁₂.

5.4.3 Дробные реплики

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной ПФЭ 2³, или полурепликой.

Матрица из 8 опытов для четырехфакторного процесса будет полурепликой от 2⁴, а для пятифакторного - четверть репликой от 2⁵.

8 факторов – 16 опытов – это 1/16 часть реплики от 2⁸ (256).

Дробность реплики определяется как (1/2)^p

2^К-Р - обозначения дробных реплик.

где К – количество факторов,

Р – количество линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия.

Так, полуреплика от 2³, запишется 2^3-1,¼ часть реплики от 2⁵ – 2^5-2.

5.4.4 Выбор плана дробного факторного эксперимента

Пример. Выбрать план ДФЭ для получения математической модели пятифакторного технологического процесса.

В случае реализации ПФЭ количество опытов было бы равно :

n = 2⁵ = 32.

Выбор плана ДФЭ начинаем с выбора количества опытов из соотношения

(К +1) £ n < 2^k, т.е. 6 £ n < 32

За основу принимаем план ПФЭ - 2³, т.е. ближайший к минимальному количеству опытов .Строим расширенную матрицу для ПФЭ 2³ (таблица 4).

Любые столбцы взаимодействий факторов заменяем на линейные факторы.

Например, Х₄ = Х₁Х₂; Х₅ = Х₁Х₃.

Остальные взаимодействия остаются в неизменном виде.

Уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₄ + b₅x₅ + b₂₃x₂x₃ + b₁₂₃x₁x₂x₃ (5.22)

Таким образом, мы получили план ДФЭ 2 ^5-2,т.е. ¼ часть реплики от ПФЭ 2⁵.

Далее расчеты проводятся аналогично расчетам в ПФЭ.

Таблица 5.4 – Расширенная матрица ПФЭ 2³

Итак, недостатком ДФЭ является менее точная математическая модель процесса за счет меньшей точности коэффициентов уравнения регрессии в_i по сравнению с ПФЭ.

Преимущество ДФЭ – значительное сокращение количества опытов в

эксперименте.