СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Лекция 10

а) Симплексный метод планирования эксперимента.

б) Порядок построения плана.

в) Достоинства и недостатки симплексного метода.

Иногда для исследователей представляет интерес получение линейного уравнения регрессии по планам, содержащим минимальное количество опытов, где количество опытов равно количеству коэффициентов уравнения регрессии. Такие планы называются насыщенными. Достоинством таких планов является минимальное количество опытов. Недостаток этих планов в том, что могут оказаться все коэффициенты регрессии значимыми и не останется степеней свободы для проверки адекватности модели.

, , (5.23)

где – количество значимых коэффициентов b_i

Но несмотря на это, на практике часто применяют насыщенные планы, надеясь на то, что хотя бы один из коэффициентов b_i окажется незначимым.

Одним из способов построения насыщенных планов является использование симплекс-планирования. Симплексом называется выпуклая фигура в многомерном пространстве, количество вершин которой превышает размерность этого пространства на единицу.

Например, в одномерном пространстве это отрезок прямой, в двумерном – треугольник, в трехмерном – тетраэдр и т.д.

Если все вершины симплекса равно удалены от центра, симплекс называется правильным (регулярным). Любые () вершин К-мерного симплекса лежат в одной гиперплоскости. Часть этой гиперплоскости, ограниченная ребрами, является гранью симплекса. При планировании эксперимента обычно используют правильные симплексы.

Количество опытов определяется по формуле:

n = k + 1, (5.24)

где k – количество факторов.

Математическая модель будет выглядеть следующим образом:

, (5.25)

Порядок построения плана:

1. Как и в случае ПФЭ или ДФЭ вначале выбирают центральный уровень и интервалы варьирования факторов.

2. Переменные кодируют для упрощения вычислений по формуле:

, (5.26)

где - значение фактора в кодированном виде;

– порядковый номер фактора.

3. Строится матрица планирования эксперимента в кодированном виде.

Рассмотрим построение матрицы планирования на примере двухфакторной модели.

Исходный симплекс может быть по-разному ориентирован в факторном пространстве. Если центр симплекса совпадает с началом координат, одна из вершин лежит на координатной оси, а остальные располагаются симметрично относительно координатных осей как изображено на рисунке 5.2, то координаты вершин симплекса задаются следующей матрицей, изображенной в таблице 5.5.

Сиплекс – равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 1. Центр тяжести симплекса совпадает с началом координат и находится на пересечении медиан треугольника 03 = 2 0А.

Высота симплекса (H) при этом равна:

, (5.27)

Таблица 5.5 Матрица планирования эксперимента

n			. . . . .		y
. . n	x1 -x1 . .	x2 x2 -2x2 . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	xk xk xk . . -kxk	y1 y2 y3 y4 . . yn

Рисунок 5.2 – Область факторного пространства

Для практического использования матрицы планирования численные значения факторов в кодированном виде рассчитаны по формуле (5.26) и представлены в матрице планирования в таблице 5.6.

Таблица 10.1 – Матрица планирования эксперимента для пятифакторного процесса

Эта матрица является ортогональной, симметричной, ротатабельной, но условие нормировки не выполняется, т.е. , а

4. По матрице проводится эксперимент (каждая строка матрицы – условия одного эксперимента), получают значения параметра оптимизации Y.

5. Проводится регрессионный анализ по первой или второй схеме в зависимости от наличия параллельных опытов в эксперименте. Предварительно вычисляют методом наименьших квадратов коэффициенты уравнения регрессии b_i по формулам:

, , (5.28)

где n – количество опытов в матрице планирования.

Дисперсия коэффициентов ( ):

, (5.19)

Как видно из формул, коэффициенты уравнения регрессии в симплексном планировании определяются с меньшей точностью, чем в ПФЭ или ДФЭ, т.е. математическая модель процесса здесь менее точная. На практике эти планы применяют часто, так как требуется выполнить минимальное количество опытов для получения математической модели процесса.

Построить эти планы со значениями факторов удается только для количества факторов, равного (4а-1), где а – целое положительное число. Например, для 3, 7, 11, 15 и т.д. факторов.

Наиболее широко симплексный метод применяют для оптимизации процесса.

5.6 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ

Лекция 11

а) Интерпретация результатов математического моделирования процессов:

- в случае адекватной модели;

- в случае значимых коэффициентов b_i;

- в случае, если часть коэффициентов значима, а часть - не значима.

б) Принятие решений после построения математической модели процесса.

5.6.1 Интерпретация результатов математического моделирования процессов

До сих пор мы употребляли абстрактный математический язык. Перевод результатов математического моделирования на язык экспериментатора называется интерпретацией результатов.

Интерпретация – сложный процесс, который проводится в несколько этапов и включает в себя оценку величины и направления влияния отдельных факторов и их взаимодействий на параметр оптимизации, сопоставление влияния совокупности факторов, проверку правильности априорных представлений и, в некоторых случаях, проверку и выдвижение гипотез о механизме процесса.

Интерпретацию обычно проводят по результатам планированного (активного) эксперимента. В обычных уравнениях регрессии (в натуральном виде) значения одного коэффициента нельзя сопоставить со значением другого. Факторы, а соответственно и коэффициенты уравнения (b_i) – величины размерные и нельзя сказать, что, например, больше 1м или 1кг. В планированном эксперименте факторы приведены к безразмерному кодированному виду, в котором каждый из них варьируется в одинаковых пределах от -1 до +1, что дает возможность их сопоставлять.

Задача интерпретации весьма сложна. Ее решают в несколько этапов.

Первый этап состоит в следующем: устанавливается, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии - количественная мера этого влияния. Чем больше коэффициент (В_i ), тем сильнее влияет этот фактор на параметр оптимизации.

О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Знак «+» свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет значение параметра оптимизации, а при знаке «-» наоборот - убывает. Интерпретация знаков при оптимизации зависит от того, что надо найти, максимум или минимум функции отклика. Так, если у ®max, то увеличение значений факторов, коэффициенты которых имеют знак «+», благоприятно, а знак «-», неблагоприятно, если у®min, то все наоборот, благоприятно увеличение значений тех факторов, знаки коэффициентов которых отрицательны.

Далее выясняется, как расположить совокупность факторов в ряд по силе их влияния на параметр оптимизации.

Факторы, коэффициенты которых не значимы, конечно не интерпретируются. О них можно сказать, что при данных интервалах варьирования и ошибке воспроизводимости они не оказывают существенного влияния на параметр оптимизации.

Второй этап - выясняют, соответствуют ли полученные данные априорной информации.

На основе априорных сведений обычно имеются некоторые представления о характере действия факторов. Если, например, с ростом температуры должно происходить увеличение параметра оптимизации (У), а коэффициент регрессии имеет знак «-», то возникает противоречие. Здесь возможны две причины возникновения такой ситуации: либо в эксперименте допущена ошибка и он должен быть проверен, либо не верны априорные представления. При этом следует иметь в виду, что эксперимент проводится в локальной области факторного пространства и коэффициент (b_i) отражает влияние факторов только в этой области. Заранее неизвестно в какой мере можно распространить результат на другие области. Теоретические же представления имеют обычно более общий характер. Кроме того, априорная информация часто основывается на однофакторных зависимостях, а при переходе к многофакторному пространству ситуация может измениться. Поэтому мы должны быть уверенными, что эксперимент проведен корректно. Тогда для преодоления противоречия можно выдвигать различные гипотезы и проверять их экспериментально.

Третий этап - проверка гипотез о механизме действия факторов.

Получение информации о механизме действия факторов не является обязательной в задачах математического моделирования, но возможность такого рода следует использовать. Здесь особое внимание следует уделять эффектам взаимодействия факторов.

Если в уравнении регрессии: У = В₀ + В₁Х₁ + В₂Х₂ + В₁₂Х₁Х₂

У = В₀ + В₁Х₁ - В₂Х₂ + В₁₂Х₁Х₂, (а)

У = В₀ + В₁Х₁ – В₂Х₂ – В₁₂Х₁Х₂. (б)

В этих случаях, нельзя однозначно сказать об усилении или ослаблении воздействия факторов. Можно лишь предположить, что в случае (а) при взаимном влиянии на процесс, фактор Х₁ оказывает большее влияние, чем Х₂, т.к. знаки при В₁ и В₁₂ совпадают. В случае (б) наоборот, при взаимном влиянии , большее воздействие на процесс оказывает Х₂, т.к знаки при В₂ и В₁₂ совпадают.

Рассмотрим простейшие примеры интерпретации эффектов взаимодействия.

Пример 1. Влияние двух лекарственных препаратов против гриппа изучалось на животных. На основании экспериментальных данных была получена следующая математическая модель процесса:

У = 6.4 – 2.1Х₁ -1.7Х₂ + 4.2 Х₁Х₂ ,

где ₁,Х Х₂ – дозы лекарственных препаратов;

У – время выздоровления.

По виду уравнения можно сказать, что наибольший эффект оказывает первый препарат, а при совместном применении препараты ослабляют действие друг друга, т.е., это приводит к увеличению времени выздоровления. Лекарства плохо совместимы и их одновременное применение нецелесообразно. Эксперимент показал, что использование только первого лекарства привело к выздоровлению за 1,9 дней, второго - за 2,5 дней, одновременно первого и второго - за 6,7 дней.

Пример 2. Изучалось влияние трех факторов на выход сульфадимезина. Предполагалось, что уксусная кислота (Х₃) является лишь растворителем и в химической реакции не участвует.

В результате обработки экспериментальных данных была получена математическая модель процесса:

У = 85.9 + 2.5Х₁ + 0.56Х₂ + 1.12Х₃ – 0.58Х₁Х₃ – 0.92Х₂Х₃, из которой видно, что значимым оказался не только коэффициент В₃, но и В₁₃ и В₂₃. Этот факт говорит о том, что уксусная кислота активно участвует в химической реакции, что требует пересмотра существующего мнения о механизме реакции.

Знаки эффекта взаимодействия показывают экспериментатору, что предпринять для увеличения или снижения значения (У). Так, если эффект взаимодействия имеет положительный знак, то для увеличения параметра оптимизации требуется одновременное увеличение или уменьшение значения факторов. Для уменьшения значений параметра оптимизации факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях.

Если эффект взаимодействия имеет отрицательный знак, то для увеличения (У) факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях. (Х₁=+1, Х₂=-1; Х₁=-1, Х₂=+1)

Для уменьшения (У) требуется одновременное увеличение или уменьшения факторов (Х₁=1, Х₂=1; Х₁=-1, Х₂=-1).

Как видно из примеров, интерпретация эффектов взаимодействия не так однозначна, как линейных эффектов. В каждом случае имеется два варианта.

Какому отдать предпочтение?

Прежде всего, нужно учесть знаки линейных эффектов соответствующих факторов. Если эффект взаимодействия имеет знак «+» и соответствующие линейные эффекты отрицательны, то выбор однозначен: необходимо сочетание Х₁=-1, Х₂=-1. Однако возможен случай, когда знаки линейных эффектов различны. Тогда приходится учитывать численные значения коэффициентов и жертвовать самым маленьким эффектом. Иногда приходится учитывать технологические соображения. Например, эксперимент в одной области факторного пространства дороже или труднее воспроизводим, чем в другой.

5.6.2 Принятие решений после построения математической модели процесса

Принятие решений зависит от количества факторов, дробности плана цели исследования и т. д. Количество возможных решений достигает нескольких тысяч. Поэтому мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи и выделим «типичные» решения.

Ситуации различаются по адекватности, значимости коэффициентов и информации о положении оптимума.

Если линейная модель адекватна, возможны три варианта:

-. все коэффициенты значимы;

- часть коэффициентов значима, часть незначима;

- все коэффициенты незначимы (кроме b₀).

Рассмотрим первый вариант (все коэффициенты b_i значимы).

В зависимости от желаемой цели возможны три решения:

- окончание исследования. Принимается только в том случае, если какой – либо параметр оптимизации в матрице планирования незначительно отличается от желаемого;

- движение по градиенту. Решение принимается, если малая ошибка опыта и уравнение регрессии имеет симметричный вид. Функция, значения коэффициентов (Вi) которой различаются не более чем на порядок, называется симметричной. Если уравнение не симметрично, то движение по градиенту будет неэффективным. Поэтому уравнение обычно приводят к симметричному виду, а затем проводят движение по градиенту;

- переход к планам второго порядка. Решение принимают в том случае, когда установлена кривизна поверхности отклика, по значимости суммы коэффициентов при квадратичных членах уравнения регрессии.

Если - сумма значима, в противном случае – незначима и кривизна поверхности отсутствует.

Оценкой суммы b_iiслужит разность между коэффициентом (b₀) и значением параметра оптимизации в центре плана (y^ц).

где y^ц- параметр оптимизации в центре плана.

Рассмотрим второй вариант (часть коэффициентов значима, часть незначима).

Движение по градиенту наиболее эффективно, если все коэффициенты значимы. Поэтому выбираются решения, реализация которых приводит к получению значимых коэффициентов.

К незначимым коэффициентам приводят неудачный выбор интервалов варьирования, включение (из осторожности) факторов, не влияющих на параметр оптимизации, большая ошибка опыта и т.д.

В зависимости от причин, возможны следующие решения: расширение интервалов варьирования по незначимым факторам и постановка новой серии опытов. Изменение интервалов варьирования иногда сочетают с переносом центра плана в точку, соответствующую условиям наилучшего опыта. Не влияющие факторы стабилизируются и исключаются из плана.

Кроме того, к получению значимых коэффициентов приводит увеличение количества параллельных опытов и достройка плана. Увеличение количества параллельных опытов приводит к уменьшению s²_воспр и соответственно s_bi.

Достройка плана осуществляется несколькими методами:

- методом «перевала» - у исходной реплики изменяют знак на обратный. В этом случае основные эффекты оказываются не смешанными с парными эффектами взаимодействия;

- переходом к полному факторному эксперименту;

- переходом к реплике меньшей дробности;

- переходом к планам второго порядка (если область оптимума близка).

Реализация любого из этих решений требует значительных усилий. Поэтому на практике чаще всего поводят движение по градиенту только по значимым факторам. Результаты оптимизации, полученные при этом, необходимо проверять экспериментально.

Рассмотрим третий вариант (все коэффициенты незначимы).

Следует иметь ввиду, что b₀ значимо всегда.

Чаще всего это происходит вследствие большой ошибки эксперимента или узких интервалов варьирования. Поэтому возможные решения направлены на увеличение точности эксперимента и расширение интервалов варьирования. Увеличение точности достигается двумя путями: улучшением методики проведения опытов или постановкой большего количества параллельных опытов. Изменение интервалов варьирования приводит к изменению коэффициентов уравнения регрессии (b_i), значения которых находятся в прямой зависимости от величины интервалов варьирования факторов.

Если линейная модель неадекватна. В этом случае необходимо проверить кривизну поверхности и если последняя присутствует, необходим переход к планам второго порядка, в противном случае – решение о движении по градиенту представляется возможным. Это решение нельзя считать достаточно корректным, но оно часто приводит к желаемому результату.

Лекция 12

а) Оптимизация технологических процессов.

б) Метод Гаусса – Зейделя.

в) Градиентные методы.