Основополагающее правило при этом заключается в том, что величины, представляющие собой числитель и знаменатель средней, должны иметь определенный логический смысл.
Средние величины делятся на больших класса:
- степенные средние;
- структурные средние.
К степенным средним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая.
В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.
Степенные средние объединяются общей формулой:
,
- среднее значение исследуемого явления;
m – показатель степени средней;
x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;
n – число признаков.
В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды средних:
При m =-1 – средняя гармоническая;
При m = 0 – средняя геометрическая;
При m = 1 – средняя арифметическая;
При m = 2 – средняя квадратическая;
При m = 3 – средняя кубическая.
При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше m в формуле, тем больше значение средней величины:
.
Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется правилом мажоритарности средних.
В зависимости от представления исходных данных степенные средние могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается по не сгруппированным данным и имеет следующий вид:
.
Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:
где xi- значение (варианта) осредняемого признака;
m – показатель степени средней;
fi - частота (вес), показывающая сколько раз встречается i – е значение осредняемого признака.
Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности сохраняется неизменным. Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.
Средняя арифметическая простая равна сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений:
Она применяется в тех случаях, когда имеются не сгруппированные индивидуальные значения признака.
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:
Она применяется в тех случаях, когда известны варианты, имеющие неравновеликие частоты (f).
Технику вычисления средней арифметической величины рассмотрим на примере расчета среднего возраста студентов в группе из 20 человек.
№ п/п
Возраст (лет)
№ п/п
Возраст (лет)
№ п/п
Возраст (лет)
№ п/п
Возраст (лет)
Средний возраст рассчитывается по формуле по формуле простой средней:
Сгруппируем исходные данные. Получим ряд распределения:
Возраст, x лет
Всего
Число студентов, f
Средняя гармоническая – это величина обратная среднеарифметической.
В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:
Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как их произведение x*f, применяется формула средней гармонической взвешенной.
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда необходимо сохранить неизменным произвдениее индивидуальных величин.
Средняя геометрическая простая имеет следующий вид:
где- знак произведения, n – число вариантов, периодов.
Средняя геометрическая взвешенная имеет следующий вид:
Средняя квадратическая применяется, когда необходимо рассчитать средний размер признака, выраженный в квадратных единицах измерения.
Средняя квадратическая простая имеет вид:
Средняя квадратическая взвешенная имеет вид:
.
Средняя кубическая применяется, когда необходимо рассчитать средний размер признака, выраженный в кубических единицах измерения.
Средняя кубическая простая имеет вид:
.
Средняя кубическая взвешенная имеет вид:
.
Рассмотрим структурные средние.
Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода Мо наиболее часто встречаемое значение признака.
В дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.
В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:
,
где xмо - начало модального интервала; модальный интервал определяется по наибольшей частоте.
iмо - модальный интервал;
fмо fмо-1 fмо+1 - частота модального, до и послемодального интервалов соответственно.
В случае неравных интервалов применяется следующая формула:
где xмо - начало модального интервала, модальный интервал – интервал, в котором достигает максимума величина (плотность) – отношение частоты интервала к его величине;
iмо, iмо-1, iмо+1 - величина соответственно модального, до и послемодального интервалов.
Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т. п.
Медиана Ме – величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части, т. е. со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находиться в середине упорядоченного ряда.
Для определения медианы в вариационном ряду необходимо вначале найти номер медианы: .
Затем используют накопленные частоты (сумму последовательно сложенных частот между собой).
В дискретном ряду распределения медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.
В интервальных рядах распределения медианное значение рассчитывается по формуле:
где xме - нижняя граница медианного интервала; медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.
iме - медианный интервал;
- половина от общего числа наблюдений;
Sме-1 - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;
fме- число наблюдений в медианном интервале.
Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значения имеют какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.
Рассмотрим на примерах расчет моды и медианы.
Пример 1.
Распределение семей города по числу детей характеризуется следующими данными:
Число детей в семье
Итого
Число семей
Определить моду и медиану.
Наибольшая частота (29 изделий) приходится на семью с 2 детьми. Следовательно, Мо = 2.
Для определения медианы нужно вначале найти номер медианы:
Nме = =
Затем используют накопленные частоты.
Накапливаем частоты до тех пор, пока накопленная частота не будет равна этому номеру или превысит его.
Число детей в семье
Итого
Число семей
Накопленная частота
-
Следовательно, 10 семей не имеют детей, 36 (10+26) семей имеют не более 1 ребенка, 65 (36+29) не более 2 детей, 82 (65+17) не более 3 детей и т. д. Т. о, медиана данного ряда распределения равна 2 детям в семье, т. е. половина семей имеют до 2 детей, а другая свыше 2-х детей.
Ме = 4 балла.
Пример 2.
Распределение длины пробега автофургона торговой фирмы характеризуется следующими данными:
Длина пробега за 1 рейс, км.
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
80 и выше
Итого
Число рейсов за 1 месяц
Определите модальное и медианное значение длины пробега за 1 рейс.
Модальным в данном распределении является интервал 40-50 км., так как наибольшее число рейсов (f = 25) находится в этом интервале.
Определим медианный интервал:
Nме = =
Затем используют накопленные частоты.
Длина пробега за 1 рейс, км.
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
80 и выше
Итого
Число рейсов за 1 месяц
Накопленная частота
-
Медианным считается интервал 50-60 км., так как в этом интервале находятся номер медианы.
Половина рейсов за месяц были протяженностью до 53 км., а другая половина свыше 53 км.