Принципы компромисса

Концептуальные проблемы при решении многокритериальных задач

Нормализация критериев является сложной концептуальной проблемой. Она возникает во всех векторных задачах оптимизации, в которых критерии оптимальности имеют различие в единицы измерения.

Большинство применяемых способов нормализации основывается на введении понятия идеальной альтернативы (оценки), представляемого вектором идеальных значений критериев .

С помощью вектора вектор критериев Y приводится к безразмерной (нормированной) форме.

В этом случае (при невидном условии, что все ).

Успешное решение проблемы нормализации во многом зависит от того, насколько правильно и объективно удается определить “идеальное” качество решений.

Способ выбора идеального вектора определяет и способ нормализации. Рассмотрим некоторые из наиболее часто предлагаемых способов.

Способ 1: Здесь идеальный вектор качества определяется заданием величинами критериев, т.е.

Недостатками этого способа является сложность и субъективность назначения , что приводит к субъективности оптимального решения.

Способ 2: Здесь в качестве идеального вектора применяется вектор, компонентами которого являются максимально возможные значения локальных критериев, т.е.

…), недостатком такого способа нормализации является то, что он существенно зависит от максимально возможного уровня критериев, предъявляемых уровнями задачи.

В результате равноправие критериев нарушается и предпочтение автоматически отдается критерию с наибольшей величиной локального критерия.

Способ 3: Здесь в качестве компонент принимается максимально возможный разброс соответствующего локального критерия, а именно: -).

Пусть имеется двумерный критерий:

Пусть множество решений м.б. представлено в виде закрытого интервала [a,b].

Графики применения составляющих оценок и имеют вид:

x

a c d e f b

Допустим, что идеальным было бы решение, обеспечивающее одновременно мах пои по:

Формально область компромисса можно определить в виде множества:

для всех ij, i, , .

Где I- множество порядковых номеров критериев, составляющих векторный критерий Y; X- допустимое множество решений.

Принцип равномерности.

Принцип равномерности в общем случае состоит в стремлении к равномерному и гармоническому повышению качества операции по всем локальным критериям. Данный принцип имеет несколько разновидностей:

а) Принцип равенства. Здесь наилучшим решением считается такое, при котором достигается равенство всех локальных критериев: .

Этот принцип чрезмерно жесткий и, как правило, может не делать оптимальных решений, т.к. данное условие не обязательно выполняется на область возможных решений Х.

б) Принцип максимума. Здесь идея равномерности проявляется в стремлении повышать уровень всех критериев за счет максимального “подтягивания” наихудшего из критериев (имеющего наименьшее значение): .

D_абс=(4-2)+(6-9)=2-3=-1<0, Þ k⁰ лучше k^-1

2) Принцип относительной уступки: справедливым является компромисс, при котором суммарный относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не > суммарного относительного уровня приращения остальных критериев:

, где D_i- абсолютная уступка,

- значение критерия i в базовой точке.

Если при переходе из одной точки в другую D_отн>0, то Þ ищем точку, где D_отн0.

Пример:

лучше k⁰

Т.о.: - мультипликативная свертка.

3) Принцип последовательной уступки (лексикографический принцип):имеется векторный критерий (k₁, k₂,….k_n)- критерии упорядочения по важности:

1) Находим решение: , ЛПР может пойти на уступку: D₁®x, м. меняться от а до в.

2) Находим решение: , при условии: .

3) Находим решение: , при условии: .

и т.д.

Если уступка очень мала, то решаем однокритериальную задачу по самому важному критерию. Если D велика, то решаем однокритериальную задачу по наименее важному критерию.

Пусть найдено Q₁, будем повышать D₁ и смотрим, как меняется k₂, берем D₁ соответствующее насыщению. Затем исследуем k₃(D₂) и т.д.

Лекция № 21