У Слейтора все граничные точки включены в множество.

Точки, лучшие, чем y в смысле ³ заполняют прямой угол, стороны которого параллельны осям координат (включая границы угла). Вершиной угла является точка y (сама она в это множество не включается), а точки, лучшие, чем y в смысле >, составляют внутренность этого же угла.

Отношения _³, ³,>, определяемые на множестве оценок, аналогичны по смыслу отношениям ýýýf, ýýf, ýf предпочтений на множестве решений.

ýýf – не менее предпочтительнее, чем

ýf – предпочтительнее

Отношение ýýýf является квазипорядком, а отношения ýýf и ýf – строгие порядки.

Решению, наибольшему по ýýýf соответствует отношение _³ из множества всех оценок. След. наибольшее по ýýýf решение обращает в max на множестве Х каждый из критериев f₁,…,f_m. Эти решения считаются оптимальными, но в реальной жизни их почти нет.

Решение х⁰ÎХ является эффективным, если не существует решения х ÎХ:

х ýýf х⁰. – Р_р(х)

Решение х⁰ÎХ является слабо эффективным, если не существует решения х ÎХ:

х ýf х⁰. – S_p(x)

Понятие эффективного решения теряет смысл, когда нужно найти несколько лучших решений.

Собственные эффективные оценки и решения

Исследования показывают, что среди эффективных могут встречаться оценки (решения), оказывающиеся в определенном смысле аномальными.

Пример: Y:{yÎE²/y₁£-y₂}

E² – двумерное евклидово пространство

P(y) y₂

êy₂ = y₂-(y₂)⁰=y₂>0 êy₂

êy₁ = y₁-(y₁)⁰=y₁=-(êy₁)²<0

êy₁ y⁰ y₁

Если перейти из точки y₁⁰ в достаточно близкую эффективную точку y, то будет получен выигрыш первого порядка малости по второму критерию, за счет проигрыша второго порядка малости по первому критерию.

Если критерий f₁ не считать несравненно более важным, чем f₂, то можно согласиться на некоторое увеличение значения f₂, допустив на порядок меньшие потери по f₁.

Т.о. y⁰ является аномальной.

Этот вывод справедлив только для непрерывных функций специального вида, причем, если все процедуры рассматриваются в промежутке от 0 до 1.

Этот пример показывает, что иногда имеет смысл выделять эффективные решения без аномалий.

Для общего случая определение собственной эффективности было предложено Джоффрионом в 1918 г.

Эффективная оценка y⁰ называется собственно эффективной (оптимальной по Джоффриону), если существует такое положительное число q, что для любого iÎM и yÎY, для которых выполняется следующее неравенство: y_i>(y_i)^o (1) и некоторого jÎM (M- множество критериев) такого, что y_j>(y_j)^o (2), выполняется неравенство:

(y_i-(y_i)^o )/( y_j>(y_j)^o) £q (3)

Заметим, что поскольку y⁰эффективна, то если существует оценка y, для которой при некотором i выполняется (1), то обязательно найдется j для которого будет выполняться (2) .

Поэтому смысл этого определения в требовании существования q, для которого будет выполняться (3).