Задачи оптимизации на множестве объектов

Классификация многокритериальных задач

Многокритериальные задачи принятия решения

Эксперты дают одинаковые оценки разным альтернативам

Т Лекция №14

S=å{åx_ij-0.5*m*(n+1)}²

J I

Можно показать, если величина S имеет максимальное значение в случае, когда все эксперты дают одинаковые оценки: S_max=1/12*n*m²*(n²-1).

Действительно:

å= m 2m im mn

S_max={m-0.5*m*(n+1)}²+{2m-0.5*m*(n+1)}²⁺{3m-0.5*m*(n+1)}²+…

…+{nm-0.5*m*(n+1)}²=(m²-m²*(n+1)+1/4*m²(n+1)²)+

(4m²-2m²*(n+1)+1/4*m²(n+1)²)+(9m²-3m²*(n+1)+1/4*m²(n+1)²)+…

+(n²*m²-nm²*(n+1)+1/4*m²(n+1)²)=(1+2+9+…+n²)*m²-(1+2+…+n)*

m²(n+1)+1/4*n*m²(n+1)²=m²*{(2n³+3n²+n)/6}-1/4*n*m²(n+1)²=[n*(n²-1)*m²]/12

Коэффициент конкордации W рассматривается как, отношение фактически полученной величины S к ее max значению, для данной группы экспертов m и числа факторов n, т.е.: W=S/S_max

Если W=1, то значит, что все эксперты дали одинаковые оценки по данному признаку, а W=0-связи между оценками, полученными от экспертов нет. Коэффициент конкордации обычно рассчитывают по формуле Кендалла:W=12*S/[m²*(n³-n)]

i 2 1 4 4 4 6 8 8 8

j 2 1 5 5 5 5 5 9 9

тогда функция видоизменяется

m

W=S/[(1/12)*m²*(n³-n)-m*åT_i]

i=1

T_i=(1/12)å[(t_j)³-t_j] где t_j- число повторяющихся оценок одного эксперта

для заданного примера

T_i= (1/12)[(3³-3)+( 3³-3)]=4

T_i= (1/12)[(5³-5)+( 3³-3)]=12

1. Задачи оптимизации на множестве целей.

Есть несколько целей, каждая должна быть учтена при выборе оптимального решения.

Пример:Определить оптимальный вариант ЛА ГА, который перевозит грузы. Критерии:

К₁-вес полезной нагрузки (груз+бензин+…)

К₂- дальность полета без дозаправки

К₃-крейсерская скорость

К₄-стоимость летного часа

…

К_n-…

К={К₁,К₂,…,К_n}-векторный критерий

Локальные критерии обычно имеют различные единицы измерения.

(особенность таких задач)

Рассмотрим совокупность объектов, качество функционирования каждого из которых оценивается самостоятельным критерием. След. качество функционирования всех объектов характеризуется векторным критерием, составленным из частных критериев.

Пример:Надо распределить заданное количество ресурса среди N потребителей, подавших заявки на определенное количество ресурсов. Степень удовлетворения ресурсом каждого i-го потребителя оценивается критерием К_i , тогда общий план удовлетворенности потребителей: К={К₁,К₂,…,К_n}

Здесь локальные критерии оптимальности обычно имеют одинаковую размерность.

3. Задача оптимизации на множестве условий функционирования

Обычно заданы варианты условий (спектры условий), в которых предстоит функционировать разрабатываемому устройству. Качество функционирования устройства существенно зависит от условий. Для любого варианта условий оцениваем функционирование каким-либо критерием K_i.

Тогда качество функционирования на всем спектре условий оценивается векторным условием качества.