Предпочтения ЛПР

Задача оптимизации на множестве этапов функционирования

Рассматривается функционирование объектов на некотором интервале времени, разбитом на несколько этапов.

Качество управления на любом этапе зависит от управления на этом этапе и оценивается локальным критерием. На множестве всех этапов - векторный критерий.

Пример: Требуется определить оптимальный план функционирования предприятия на заданном промежутке времени [0…T]. Качество функционирования предприятия характеризуется объемом выпускаемой продукции.

К(t_i), i=1…n – в дискретный момент времени

К=(К(t₁), К(t₂),… К(t_n))- качество функционирования предприятия на всем интервале от 0 до Т.

М.б., что локальные критерии не скаляр, а вектора, т.е. много векторные задачи. Поиск оптимального решения обычно связан с человеком (ЛПР). Важны его предпочтения.

Для описания предпочтения ЛПР часто используют бинарные отношения, вводимые на множестве сравнимых решений (действий, объектов). А- множество сравнимых решений.

1. «Отношение безразличий» I

А₁IA₂- действия А₁ и А₂ одинаковы по предпочтительности.

(если выбор ограничен двумя этими действиями, то безразлично какое из них применить).

2. «Отношение строгое предпочтение» Р

А₁РA₂- действия А₁ строго предпочтительнее, чем А₂ .

3. «Отношение не строгого предпочтения » R

А₁IA₂- действия А₁ не менее предпочтителен, чем А₂ , т.е. имеет место А₁РA₂ или А₁IA₂

Формально R=PÈI.

Отношение предпочтения должно обладать свойствами:

I – Рефлексивно и симметрично

Р – Антирефлексивно и асимметрично

R – Рефлексивно

· Р и I не пересекаются.

(не может быть одновременно А₁РA₂ и А₁IA₂)

· Р и I восстанавливаются по R:

А₁IA₂- значит, что одновременно выполняются А₁IA₂ и А₂IA₁, т.е. I=RÇR^-1

А₁IA₂- значит, что выполняется А₁RA₂ ,но А₂RA₁-не выполняется,

т.е. R=R/R^-1=R/I

В общем случае R,I,P-нетранзитивны.

I – симметричная часть R

P - асимметричная часть R

Строгий порядок - это отношение, которое обладает след. свойствами: антирефлексивность, транзитивность (и потому асимметричность).

Квазипорядок - характеризуется свойствами: рефлексивность и транзитивность

Нестрогий порядок - это отношение, которое обладает следующими свойствами: рефлексивность, транзитивность, антисимметричность.

Пусть £ - не строгий порядок на множестве А, ему можно сопоставить строгий порядок <, определяемый так: а<в тогда и только тогда, когда, а£в и а¹в.

Пусть < - строгий порядок на множестве А, ему можно сопоставить не строгий порядок £ , определяемый так: x£ y тогда и только тогда, когда, x<y или x=y.

Т.е. по нестрогому порядку можно установить строгий порядок и наоборот. Поэтому нестрогий порядок иногда называют частным.