Принцип обобщения.

Принцип обобщения для нечетких множеств представляет собой в сущности основное равенство, позволяющее расширить область определения U отображения или отношения, включив в неё наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества U. Более конкретно, предположим, что f – отображение , а А – нечеткое подмножество вида: .

Тогда принцип обобщения утверждает, что:

Итак, образ множества А при отображении f можно получить, зная образы элементов u₁….u_n при этом отображении.

Если носитель подмножества А имеет мощность континуума, т.е.

То принцип обобщения принимает следующий вид:

при этом необходимо учитывать, что f(u) – точка множества V, а - степень принадлежности f(u) нечеткому подмножеству f(A) множества V.

Во многих приложениях принципа обобщения возникает следующая проблема. Имеется функция n переменных f : и нечеткое множество (отношение) А в , характеризующееся функцией принадлежности , где , i = 1, …n.

Непосредственное применение в этом случае принципа обобщения дает

Однако во многих случаях нам известно не само множество А, а его проекции А₁…А_n на U₁,…, U_n соответственно. В связи с этим возникает вопрос: какое выражение для , следует использовать в (*).

В таких случаях будем предполагать, что функция принадлежности А имеет вид

где - функция принадлежности отношения A_i.

Символическиематематические модели представляют собой совокупность математических соотношений в виде формул, уравнений операторов, логических условий или неравенств, которые определяют входные и выходные параметры, характеристики состояния системы и т.д.

Символические математические модели можно разделить на два широких класса: аналитические и алгоритмические модели.

В аналитическихмоделях система задается в виде алгебраических, дифференциальных, интегральных соотношений и т.д. изучение этих соотношений можно проводить как аналитически, так и с помощью ЭВМ. Аналитические модели получили широкое распространение и до появления ЭВМ были наиболее широко используемой формой математического моделирования. С ростом сложности систем возможности аналитического моделирования, естественно, уменьшаются.

В последнее время все большее применение находят алгоритмические модели. Эти модели представляют собой сложную алгоритмически заданную функцию многих переменных исходных данных, обычно реализуемую на ЭВМ. Алгоритм вычисления этой функции строится на сочетании традиционных математических форм описания систем с логическими процедурами, отражающими закономерности, факторы и условия, свойственные реальным системам.

Сложная логико-аналитическая структура алгоритмических моделей не позволяет осуществлять прямой анализ системы и требует многократного моделирования с вариацией значений параметров и дальнейшей интерпретацией полученных результатов.

Иконографические математические модели представляют собой графическое отображение соотношений между элементами и параметрами системы. Иконографические модели подразделяются на три большие группы: топологические модели-графы, сетевые модели и структурные блок-схемы.

Можно заметить, что обе формы представления – как символическая, так и иконографическая дополняют друг друга и позволяют рассматривать систему с различных точек зрения. Причем, если символические модели применимы в основном к системам, которые уже достаточно хорошо структурированы, то целью построения иконографических моделей как раз и является выявлениеструктуры системы. Поскольку одно назначение системного анализа заключается в структуризации проблемы, определении неявных, скрытых связей и отношений между элементами системы, то, очевидно, что использование графических моделей, особенно на ранних этапах исследования, является важным элементом системного анализа.

Как отмечалось ранее, одним из ведущих принципов методологии системного анализа является принцип многоуровнего описания систем. В реализации этого принципа ведущее положение занимает общая схема системного подхода: элементы – связи – функционирование – развитие. Это означает, что для всестороннего исследования системы необходимо строить комплекс взаимосвязанныхматематических моделей, отражающих системный подход к анализу проблемы. Такой комплексмоделей должен позволять проводить исследование, начиная с обобщенных представлений о целях, характере деятельности и показателях рационального поведения и кончая детальным представлением процессов функционирования отдельных подсистем и всей системы в целом. Можно выделить следующие виды описания систем, отражающих общую схему системного подхода:

а) морфологическое описание, т.е. описание формы и структуры системы.

б) функциональное описание – отражающее функции, выполняемые элементами системы и поведение системы во времени.

в) информационное– описывающее информационное отображение системы, неопределенности, присущие системе, а также процессы формирования и обработки информации.

Данная классификация видов описаний систем является условной, т.к. вышеприведенные описания не являются изолированными и в значительной степени дополняют друг друга. В общем случае морфологическое описание можно представить тройкой:

где А – множество элементов (подсистем) и их свойств,

V – множество связей,

– структура.

Данное описание системы начинается с элементного состава, и в существенной степени зависит от характера интересующих исследователя связей.

В зависимости от вида связей различают:

- коммуникационное описание – отражающее общие взаимосвязи между частями системы;

- технико-технологическое – отражающее технологические процессы в системе;

- организационное – отражающее органы и объекты управления и т.д.

Следует отметить, что морфологическое описание является иерархичным, т.е. описание начинается с элементов нижних уровней страт иерархии, которые затем на следующей уровне агрегируются в более крупные блоки, а на верхнем уровне получаем вид описания всей системы.

Каждый элемент системы, в свою очередь можно описать функционально и информационно.

Наиболее полно функциональное описание системы задается семеркой:

где Т – множество моментов времени;

Х – множество мгновенных значений входных воздействий;

- множество допустимых входных воздействий;

Z – множество состояний;

Y – множество выходных величин;

или - переходная функция состояния;

или - выходное отображение.

Функциональное описание также иерархично. Причем уровни иерархии функционального и морфологического описаний должны совпадать.

Разнообразие способов описания систем и взаимоотношений между ними приводит к значительным трудностям при увязывании отдельных моделей в единый комплекс моделей системы. Одна из основных трудностей обусловлена так называемым «проклятием размерности», т.е. лавинообразным возрастанием сложности описания при попытках более детально описать систему.