Заметим, что не всякая линия является графиком функции.
Определение 6: Функция называется явной, если она задана формулой y=f(x).
Определение 7: Функция называется неявной, если она задана уравнением F(x; у)=0.
Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции.
Существуют три основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический.
1) Аналитический способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие и в каком порядке действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно.
2) Табличный способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью указанной таблицы. Область определения – множество чисел, расположенных в первой строке (столбце) таблицы, область значений – множество чисел, расположенных во второй строке (столбце) таблицы. Так задаются функции, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.
3) Графический способ - зависимость между переменными задаётся посредством графика. Графический способ задания функции не всегда даёт возможность точно определить численные значения аргумента, но преимуществом – наглядность.
4) Словесный способ - зависимость между переменными величинами определяется словами. Основные недостатки: невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента; отсутствие наглядности. Преимущество: возможность задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.
Определение 1: Если на некотором множестве X определена функция z=j(x) со множеством значений Z, а на множестве Z - функция y=f(z), то функция у=f[j(х)] называется сложной функцией от х (или суперпозицией функций j(x)и f(z)), а переменная z - промежуточной переменной сложной функции.
Определение 2: Пусть X и Y — некоторые множества и пусть задана функция у=f(х), т. е. множество пар чисел (х; у) (хÎX, уÎY), в котором каждое число х входит в одну и только одну пару, а каждое число y - по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, причём, каждому каждому значению переменной yÎY, соответствует единственное значение переменной хÎХ, то получим множество пар чисел (у; х), которое называется обратной функцией х=j(у) к функции у=f(х).
х=j(у)=f-1(у).
Функции у=f(х) и х=j(у) – взаимнообратные.
Теорема 1: Функция у=f(х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция у=f(х) задаёт взаимно однозначное соответствие между множествами D(у) и Е(у).
Теорема 2: Если функция возрастает (убывает), то обратная к ней функция также возрастает (убывает).
Замечание: Функции у=f(х) и х=j(у) – изображаются одной и той же кривой, т.е. их графики совпадают. Если же в функции х=j(у) переобозначить, как обычно независимую переменную через х, а зависимую через у, то обратная функция к у=f(х) примет вид у=j(х) и её график будет симметричен графику функции у=f(х) относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.
Функция может быть задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:
Определение 1: Простейшими (основными) элементарными функциями являются:
· постоянная функция f(х)=С, С=const,
· степенная функция f(х)=хa (a—любое число),
· показательная функция f(х)=ах (0<а¹1),
· логарифмическая функция f(х)=logaх (0<а¹1),
· тригонометрические функции f(х)=sinx, f(х)=cosx, f(х)=tgx, f(х)=ctgx,
· обратные тригонометрические функции f(х)=arcsinx, f(х)=arccosx, f(х)=arctgх, f(х)=arcctgx.
Определение 2: Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.
На основании определения следует, что элементарные функции являются функции заданные аналитически.
Классификация элементарных функций:
1) Функция вида Р(х)=a0хm+a1хm-1+…+am-1х+am, где m³0 - целое число, a0, a1, …, am-1, am любые числа — коэффициенты (а0¹0), называется целой рациональной функцией или многочленом степени m. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.
2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций
, называется дробно-рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных (1) и дробно-рациональных (2) функций образует класс рациональных функций.
3) Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной.
Алгебраические функции: рациональные (1 и 2) и иррациональные (3).
4) Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной функцией.
Определение 1: Системой координат называется совокупность одной, двух, трёх или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат.
Определение 2: Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).
Чаще всего рассматриваются двухмерная или трёхмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчёта по каждой из осей обозначаются стрелками.
Определение 3: Полярная система координат состоит из некоторой точки О – полюса, и исходящего из неё луча ОМ – полярной оси и задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков.
Определение 4: Полярными координатами точки М называются числа r и j. При этом число r – полярный радиус, число j – полярный угол. М(r; j), где обычно 0£r<+¥; и 0£j<2p – главные значения.
Установим связь между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами. Будем предполагать, что точка (0; 0) находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.
Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты r и j
(М(х; у)«М(r; j)), тогда
· – выражение прямоугольных координат через полярные;
· – выражение полярных координат через прямоугольные (при этом необходимо правильно выбирать главные значения).
Замечание 1: Прямоугольная и полярная системы координат определяют однозначное положение точки на плоскости с помощью своих координат (главных для полярной).
Замечание 2: Для построения точки в полярной система координат можно использовать не только главные значения, например М(-1; 405°).
, называется дробно-рациональной функцией.
– выражение прямоугольных координат через полярные;
– выражение полярных координат через прямоугольные (при этом необходимо правильно выбирать главные значения).