Трехместные и n-местные отношения

2.3.2.

Классификация моделей

К Лекция№6

Свойства нечетких бинарных отношений.

Понятие нечеткого бинарного отношения

Нечеткое N-арное отношение в пространстве М₁, М₂, …, М_N – есть подмножество декартового произведения М₁*…* М_N, которое характеризуется функцией принадлежности m, которая показывает степень принадлежности данного элемента (кортежа) к нечеткому множеству.

Его можно задавать матрицей и графом:

	0.2	0.8	0.1
0.4		0.7	0.5
	0.8	0.4	0.3

Матрица имеет вид:

Т.е. не только 0 и 1

_0.6

Х₂

Граф имеет вид:

Рисунки не связаны друг с другом.

Пример:

Пусть матрицы нечетких отношений имеют вид:

0.2
0.3		0.6

	0.8	0.3

		0.6

Р= Q=

PÈQ= 0.2 0 0

0 1 0

0 0 0

1.Рефлексивность нечеткого бинарного отношения R означает, что m_R(х_i,х_j)=1 при i=j. Т.е. в матрице рефлексивности нечеткого отношения на главной диагонали стоят единицы.

2. Антирефлексивность нечеткого бинарного отношения R означает, что m_R(х_i,х_j)=0 при i=j. Т.е. в матрице антирефлексивности нечеткого отношения на главной диагонали стоят нули.

3.Симметричность нечеткого бинарного отношения R означает, что m_R(х_i,х_j)=m_R(х_j,x_i) при i¹j. Т.е. матрица симметричного нечеткого отношения - симметрична.

4.Антисиметричнось нечеткого бинарного отношения R означает, что из m_R(х_i,х_j)>0 следует m_R(х_j,x_i)=0 при i¹j. Т.е. матрица антисимметричного нечеткого отношения - антисимметрична.

5. Транзитивность означает, что для любых x,z,yÎM выполняются соотношения:

m_R(x,y)>=max(min(m_R(x,z),m_R(z,y))

В зависимости от выбора различных, существенных черт системы (элементов и связей между ними), можно получать различные модели, описывающие с различных точек зрения реальную систему.

В настоящее время используются следующие уровни описания систем:

1) лингвистический (в том числе – логико-математический);

2) теоретико-множественный (в том числе – абстрактно-алгебраический, топологический);

3) динамический.

Лингвистический уровень – наиболее высокий уровень абстрагирования. Наиболее детально разработано представление моделей на теоретико-множественном и динамическом уровнях.

В общем случае модель S на теоретико-множественном уровне задается в виде кортежа *:

Компонентами которого являются множество элементов А₁,…А_n_,образующих систему, и определенные на этом множестве отношения между элементами системы R₁,…R_m из представления моделей (1.1)видно, что компоненты А₁,…А_n представляют некоторую “опорную информацию”_,положенную в построение моделей. Только выделив «опорные» точки можно приступать к заданию отношений на множестве А₁, А₂,….А_n.

Кортеж – последовательность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место.

Система может характеризоваться различными отношениями между множествами объектов. В связи с этим математической моделью системы назовем кортеж: , (*).

Компонентами которого являются семейство множеств (объектов) М₁, М₂….М_n, образующих систему, и определенные на этом семействе множеств отношения R₁, R₂,…R_m, каждое из которых определяется или как бинарное отношение на семействе множеств, или как отношение размерности к, .

Каждой комбинации отношений будет соответствовать своя модель системы.

Если кортеж (*) имеет одно отношение, то модель отображает какую-либо одну сторону – один аспект системы.

В многоаспектной модели принимается во внимание множество отношений.

Кортеж (*), который мы назвали математической моделью системы, иногда будем называть просто – системой.

Взаимодействие со средой.

При описании взаимодействия системы со средой удобно использовать понятия: вход, выход, состояние системы.

Воздействие среды на систему характеризуется некоторыми параметрами или показателями, которые называются входными параметрами (входами, факторами). Множество входов может быть представлено кортежем: Х=(Х₁, Х₂, …Хr).

Входы преобразуются системой в параметры, которые характеризуют результаты проводимых системой операций. Эти параметры – выходные: у= (у₁, у₂,…у_s).

Система преобразует входы в выходы благодаря некоторому отношению R: .

Тогда моделью системы «вход-выход» будет тройка: S = (x, y, R)

Отношение может быть функциональным: y = F(x), тогда модель будет иметь вид: S = (x, y, F).

Эти модели соответствуют случаям, когда система имеет единственное состояние и параметры выходов совпадают с параметрами состояния.

В более общем случае вход системы определяет параметры её состояния: Z = (Z₁, Z₂,…Z_n).

через отношениеили через функцию Z = F(x)

Выходные системы определяются бинарным отношением между параметрами вход-состояние и выход или функционально y = G(x,Z).

В этом случае модели системы определяются пятерками: S = (x, Z, y, R₁, R₂) или S = (x, Z, y, F, G).

При описании системы в виде конечного автомата: ,

где G, X, Y, - конечные множества, называемые соответственно множеством внутренних состояний, множеством входных сигналов и множеством выходных сигналов, а и - однозначные функции:

- функция переходов,

- функция выходов, опорная информация определяется множествами состояний, входов и выходов.

Из рассмотрения различных вариантов представления опорной информации можно сделать вывод, что построение моделей фактически сводится к выражению существенных черт системы на определенном специальном языке. Такой языковый аспект построения моделей требует различать семантическую и синтаксическую сторону моделей [17]. Семантика – раздел семиотики: науки о знаковых системах, посвященный изучению отношений между знаками и обозначаемыми ими объектами, т.е. смысловому содержанию знаковых выражений. Синтактика – раздел семиотики, связанный с исследованием отношений между знаками. Таким образом, семантика модели есть ее содержание, её смысл, т.е. все то, что определяет сходство модели с оригиналом. Если тот, кто использует модель, не имеет доступа к связанной с ней семантике, то он не может и правильно интерпретировать модель. Синтаксис модели – есть совокупность формальных вспомогательных средств модели для представления её опорной информации и её основных отношений. Для представления любой модели необходимы основные синтаксические элементы и их соединения. Основными синтаксическими элементами являются знаки. В зависимости от выбранной системы знаков (а также от выбранного вида представления отношений) модели можно задавать в символическойили иконографической форме.

Естественно, что на разных уровнях моделей (лингвистическом, теоретико-множественном, динамическом) используется различная опорная информация. Так, на лингвистическом уровне абстрактного описания система определяется как множество правильных высказываний /4/. Все высказывания делят обычно на два типа. К первому причисляются термы имена предметов, члены предложений и т.д./, с помощью которых обозначают объекты исследования/, а ко второму – функторы, определяющие отношения между системами. С помощью термов и функторов лингвистическое описание моделей также может быть представлено в виде I.I. Причем роль опорной информации играют термы.

Приведем сначала несколько примеров трехместных отношений:

1) по х бомбардировщикам Z ракетно-зенитных комплексов дали залп у ракетами;

2) из х видов сырья Z предприятий выпускает у видов продукции, и т.д.

в некоторых случаях трехместные отношения сводятся к двум бинарным. Такое же понижение порядка возможно и для n-местных отношений.

Как и в случае бинарных отношений, трехместные и, вообще, n-местные отношения отождествляются с множеством упорядоченных троек, упорядоченных n^-к (или кортежей, длинною n) элементов.

Упорядоченное множество или кортеж.

Кортеж – последовательность элементов, т.е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Число элементов кортежа называется его длиною. Для обозначения кортежа используют крупные скобки. Так множество а = (а₁… а_n) - является кортежем длины n с элементами а₁… а_n.

Если имеется семейство множеств Х₁, Х₂, …Х_n , то по определению, n-местным отношением R является подмножество множества всех возможных кортежей длиной n, т.е.: