Нечеткие множества

Размытые (нечеткие) множества

Размытые множества определяются как отображение множества И на единичный интервал. Если на этом множестве имеется некоторое размытое множество А, то это множество задается с помощью принадлежности: .

Возьмем для примера множество русских писателей (И).

Тургенев, Пушкин, Толстой, Достоевский, Короленко, Салтыков-Щедрин.

Выделим великих русских писателей (А)

Эти числа будут размытыми.

Носителем нечеткого множества А называется множество таких точек И, для которых величина положительна.

Высотой нечеткого множества А называется величина

Точкой перехода нечеткого множества А называется такой элемент множества И, степень принадлежности которого множеству А равна 0,5

В том случае, когда элементы множества непрерывные

Т Лекция №5

Пусть Е=Е1*Е2*…*Еn- прямое произведение универсальных множеств и М- некоторое множество принадлежностей (например, М=[0,1]).

Нечеткое n-арное отношение определятся как нечеткое подмножество R на Е, принимающее свои значения в М (они определяются как отображение множества М на единичный интервал, при М=[0,1]).

В случае n=2 и М=[0,1], нечетким отношением R между множествами Х=Е1 и Y=E2 будет называться функция R(X,Y)[0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (x,y)ÎX*Y величину mR(x,y)Î[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X*Y запишется в виде: xÎX, yÎY: xRy.

Пример:

1. Пусть А - нечеткое множество, т.е.:

А={Пушкин, Толстой, Лермонтов, Достоевский, Горький и т.д.}, тогда если за то, что Пушкин - самый знаменитый писатель проголосовали все, за Толстого то же, за Лермонтова 1/3 аудитории, за Достоевского ¼ аудитории и т.д.,

Тогда m_А (х)={1/Пушкин+1/Толстой+(1/3)/Лермонтов+(1/4)/Достоевский…}

Где х - точка множества М, а А=Sm_i/x_i

2. Пусть Е={x₁,x₂,x₃,x₄,x₅}, М=[0,1], А - нечеткое множество, для которого:

m_А (х₁)=0,3

m_А (_х2)=0

m_А (_х3)=1

m_А (х₄)=0,5

m_А (х₅)=0,9

Тогда А можно представить в виде: А={0.3/x₁,0/x₂,1/x₃,0.5/x₄,0.9/x₅} или

A=0.3/x₁₊0/x₂₊1/x₃₊0.5/x₄₊0.9/x₅

Знак «+» имеет смысл объединения.

Основные операции над нечеткими множествами:

1. Операция эквивалентности:

Два нечетких множества А и В являются эквивалентными, тогда когда для элементов этих множеств имеет место эквивалентность функций принадлежности.

m_А (М) = m_В (М)

2.Операция включения:

Размытое множество А включено в размытое множество В(АÌВ)тогда когда функция принадлежности А включена в функцию принадлежности В:

m_А (М)Í m_В (М)

3. Операция дополнения размытого множества:

Это нечеткое множество, определяемое функцией принадлежности:

m_А (М) = 1- m_А (М)

4.Операция объединения:

Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:

m_АÈВ (М) = max(m_А (М),m_В (М))

АÈВ=òm_АÈВ(u)/u

5.Операция пересечения:

Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:

m_АÇВ (М) = min(m_А (М),m_В (М))

АÇВ=òm_АÇВ(u)/u

6.Операция сложения (алгебраическая сумма нечетких множеств):

Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:

m_АÅВ (М) = m_А (M)+m_В (М)-m_A(M)*m_B(M)

7.Операция умножения (произведение нечетких множеств):

Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:

m_АВ (М) = m_А (M)*m_В (М)

АВ=òm_А(u)* m_В (u)/u

8.Декартово произведение над нечеткими множествами:

			Разные исходные пространства
			Разные нечеткие множества

Можем рассматривать М1*М2*…, а можем и А1*А2*…, т.е.

m_А1*А2*…(М1*М2*…)=min(m_А1(М),m_А2(М),…)

Пример:

Пусть базовое множество включает числа от 1 до 10, т.е. М=(1,10).

На нем рассматриваются 2 разных множества:

А=0.8/3+1/5+0.6/6

В=0.7/3+1/4+0.5/5

1.Операция дополнения:

m_А (М) =1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

2.Операция объединения:

АÈВ=0.8/3+1/5+1/4+0.6/6

3.Операция пересечения:

АÇВ=0.7/3+0.5/6

4.Операция умножения:

А*В=0.56/3+0.3/6

Существует 2 базовых множества: М1=(3,5,7) и М2=(1,2,4). Найти декартово произведение.

А1=0.5/3+ 1/5+ 0.6/7 А2=0.3/1+ 0.7/2

А1*А2={0.3/(3,1)+ 0.3/(5,1)+ 0.3/(7,1)+ 0.5/(3,2)+ 0.7/(5,2)+…}

Как получить m?

m_мол(M)=m_мол(люди(возраст))

М={Иванов, Петров, …}

		Лет

Расстояния между разными нечеткими множествами ищутся при помощи функций принадлежности:

Пусть А и В - нечеткие подмножества универсального множества Е.

При вводе понятия «расстояние» предъявляются следующие требования:

1. r(А, В)>=0

2. r(А, В)= r(В, А)

3. r(А, В)< r(А, С)+ r(С, В)

Тогда расстояния определяются по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние): r(А, В)=å½m_А(х_i)* m_В(х_i)½, т.е. r(А, В)Î[0,n]

Евклидово или квадратичное расстояние:e(А, В)=Öå( m_А(х_i)- m_В(х_i))² , e(А, В) Î[0,Ön] и т.д.