Условный экстремум

Пусть ${G \ subset R ^ n}$ - открытая множество и на G заданные функции $y_ {i} = f_ {i} (\ bar x), \ bar x \ in G, i = 1,2, .., m$ . Обозначим через $E \ subset G$ такую, что

$\ Forall \ bar x \ in E = \ lbrace \ bar x \ in G | f_ {i} (\ bar x) = 0, i = 1,2, .., m \ rbrace ~ ~ f_ {i} (\ bar x) = 0, i = 1,2, .., m$ - Уравнение связи.

Определение

Пусть на G определена функция $y = f_ {0} (\ bar x)$ . Точка $\ Bar x_ {0} \ in E$ называется точкой условного экстремума функции $y = f_ {0} (\ bar x)$ относительно уравнений связи, если она является точкой обычного экстремума $f_ {0} (\ bar x)$ на множестве E (рассматриваются окрестность $U_ {E} (\ bar x_ {0}) \ bigcap E$ ).

Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума

Теорема

Пусть $\ Bar x_ {0}$ - точка условного экстремума функции $f_ {0} (\ bar x)$ при выполнении уравнений связи. Тогда в этой точке $\ Bar x_ {0}$ градиенты $\ Nabla f_ {i}, i = 0,1, .., m$ являются линейно зависимы, т.е. $\ Exists \ lambda _ {i}, i = 0,1, .., m: \ sum ^ {m} _ {i = 0} | \ lambda _ {i} | \ ne 0$ но $\ Sum ^ {m} _ {i = 0} \ lambda _ {i} \ nabla f_ {i} = \ bar 0$ .

Следствие

Если $\ Bar x_ {0}$ - точка условного экстремума $f_ {0} (\ bar x)$ относительно уравнений связи, то $\ Exists \ lambda _ {1 },.., \ lambda _ {m}$ такие, что в точке $\ Bar x_ {0} ~ ~ \ nabla f_ {0} + \ lambda _ {1} \ nabla f_ {1} + .. + \ Lambda _ {m} f_ {m} = \ bar 0$ или в координатном виде $\ Frac {\ partial f_ {0}} {\ partial x_ {1}} (\ bar x_ {0}) + \ lambda _ {1} \ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1} } (\ bar x_ {0}) + .. + \ Lambda _ {m} \ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}} (\ bar x_ {0}) = 0$ .

Достаточное условие условного экстремума

Пусть $\ Bar x_ {0}$ является стационарной точкой функции Лагранжа $L (\ bar f, \ bar \ lambda, \ bar x)$ при $\ Lambda = \ bar \ lambda _ {0}$ . Если $d ^ 2 L (\ bar x_ {0}$ - отрицательно (положительно) определена квадратичная форма переменных D X 1 , .., D X N с условием $df_ {1} (\ bar x_ {i} = 0, i = 1, .., m$ , то $\ Bar x_ {0}$ есть точкой max (min для положительно определение) условного экстремума. Если она при этих условиях не является знаковизначенною, тогда экстремума нет.