Нелинейное программирование».

Задание 1.Найти графическим методом минимальное и максимальное значения функции

при ограничениях

Решение.Сначала необходимо построить область допустимых решений (многоугольник решений) – множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенствам системы ограничений. После построения ОДР следует записать уравнения линий уровня целевой функции – множество точек плоскости, в которых целевая функция постоянна: . Построив линии уровня для разных значений , определяют направление возрастания (убывания) целевой функции. Затем, перемещая линию уровня в нужном направлении в ОДР, находят точки области, в которых целевая функция принимает оптимальное значение.

Область допустимых решений задачи представляет собой многоугольник . Если положить , то получим уравнение окружности

С уменьшением (увеличением) (квадрата радиуса) значения функции соответст­венно уменьшаются (увеличиваются).

Проводя из точки окружности различных радиусов, получаем: мини­мальное значение функция прини­мает в точке , в которой окружность касается области решений.

Точка не является угловой, её координаты находят в результате реше­ния системы уравнений, соответствую­щих прямым и . Для двух перпендикулярных прямых и выполняется соотношение: (или ).

Уравнение прямой : . Тогда уравнение прямой : .

Для определения воспользуемся тем, что эта прямая проходит через точку :

, . Т.е. уравнение прямой : .

Определяем координаты точки :

Минимальное значение функции: .

Максимальное значение функция принимает в точке : .

Ответ: при , ; при , .

Задача 1.

Найти графическим методом минимальное и максимальное значения функции

при ограничениях

Решение.

Строим область допустимых решений.

1) - окружность с центром в начале координат и радиусом . Область решений неравенства состоит из точек, лежащих внутри этой окружности и на ней самой.

Таким образом, с учётом условий неотрицательности переменных, областью допустимых решений задачи является часть кольца, образованного окружностями.

Теперь строим линии уровня функции и определяем направление убывания (возрастания) : .

Для разных значений графиком уравнения является прямая.

При прямая проходит через начало координат.

При прямые сдвигаются вправо.

Перемещая прямую в направлении возрастания, получим, что минимум целевой функции достигается в точке , а максимум – в точке .

Координаты точки очевидны: , , .

Точка - точка касания прямой и окружности .

Из уравнения (1): , .

Тангенс угла наклона касательной к окружности равен:

.

, , , .

Подставляем в уравнение 1-ой окружности:

, , .

.

Задача 2.

Найти графическим методом минимальное и максимальное значения функции

при ограничениях