Условный экстремум.

Пусть необходимо найти экстремум функции при условии, что пе­ременные удовлетворяют уравнениям

(*)

Предполагается, что функции и имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Уравнения (*) называют уравнениями связи.

Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи (*), функ­ция имеет условный максимум (минимум), если неравенство () имеет место для всех точек , координаты которых удовлетворяют урав­нениям связи.

Алгоритм метода

Рассмотрим задачу математического программирования: найти значения пере­менных , удовлетворяющие системе ограничений

1, 2,…,m

и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию

Эта задача отличатся тем, что среди ограничений нет неравенств, нет условий неот­рицательности переменных, их дискретности, и функции и непре­рывны и имеют частные производные, по крайней мере второго порядка.

Для решения задачи

1) составляют функцию

(- функция Лагранжа, числа - множители Лагранжа);

2) определяют частные производные и приравнивают их к нулю;

3) решают систему уравнений

и находят стационарные точки, в которых функция z может иметь экстремальные зна­чения. Вопрос о существовании экстремумов решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа. Однако если решения системы най­дены, то для определения условного глобального максимума (минимума) достаточно найти значения функции в соответствующих точках и выбрать из всех значений наи­большее (наименьшее).

Пример 4.Найти точку условного экстремума функции при ог­раничениях

Решение.

Составим функцию Лагранжа и продифференцируем её по перемен­ным Приравнивая полученные выражения нулю, получаем следую­щую систему уравнений:

Из первого и третьего уравнения следует, что тогда

Решая данную систему, находим: