Метод множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа[2] является классическим методом дифференциаль­ного исчис­ления. К сожалению, при решении задач математического программирования могут встретиться значительные вычислительные трудности, су­жающие область его ис­пользования. Метод Лагранжа используется, как правило, не в качестве вычислитель­ного средства, а как основа для теоретического анализа.

Определение. Будем полагать, что функция дважды диф-фе­ренцируема в точке и в некоторой её окрестности. Если для всех то­чек этой окрестности или , то говорят, что функция имеет экстремум в (соответственно максимум или минимум).

Определение. Точка , в которой все частные производные функции равны 0, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума. Если в точке функция имеет экс­тре­мум, то частные производные функции в этой точке равны нулю:

Следовательно, точки экстремума функции удовлетворяют системе урав­не­ний:

Как и в случае одной переменной, необходимое условие не является достаточ­ным для того, чтобы стационарная точка была точкой экстремума. Для получения достаточ­ных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго по­рядка. Дифференциал второго порядка обозначается и равен сумме произ­ведений частных производных второго порядка на соответствующие приращения аргументов:

Достаточные условия экстремума:

а) в стационарной точке функция имеет максимум, если и минимум, если при любых и (в этих случаях ), не обращающихся в нуль одновременно;

б) если может принимать в зависимости от и и положитель­ные, и отрицательные значения, то в точке экстремума нет;

в) если может обращаться в нуль не только при нулевых приращениях и , то вопрос об экстремуме остаётся открытым.