Построение матриц

Выделим некоторые подтипы таких задач.

1. Элементы новой матрицы зависят от своих же индексов, т. е. от номера строки и (или) столбца (см. § 1 гл. 5).

2. При построении матрицы используется одно число. Например, для заданных значений x и n построить матрицу A:

1 x x² x³ … x^n-1

x 0 0 0 … x^n-2

x² 0 0 0 … x^n-3

… … … … … …

x^n-1 x^n-2 x^n-3 … 1

Предлагается следующий алгоритм. Очередной элемент “периметра” матрицы получаем так: умножаем предыдущий элемент на x и помещаем его в первую и последнюю строки, в первый и последний столбцы. Для этого достаточно одного цикла. Все “центральные” элементы обнуляем.

const n=5; float x, A[n][n], T;

cin>> x; // Вводим только одно число

A[0][0]= A[n-1][n-1]=1;

T=1;

for (int i=1; i<n; i++)

{ T*=x;

A[0][i]= // Элементы 0–й строки

A[i][0]= // Элементы 0–го столбца

A[n-1][n-1-i]= // Элементы (n-1) –й строки

A[n-1-i][n-1]= T; // Элементы (n-1) –го столбца

}

for (int i=1; i<n-1; i++)

for (int j=1; j<n-1; j++)

A[i][j]=0;

3. Матрицу можно построить, используя один или несколько одномерных массивов. Например, задано b[n]. Cформировать двумерный массив по следующему правилу:

b₀ b₀+1 b₀+2 … b₀ +(n-1)

b₁ b₁+1 b₁+2 … b₁ +(n-1)

… … … …

b_n-1 b_n-1 +1 b_n-1 +2 b_n-1 +(n-1).

В таких задачах необходимо установить, от чего и как зависят индексы элементов матрицы и, возможно, значения её элементов. У нас такая зависимость простая, поэтому получаем

for (int i=0; i<n; i++)

for (int j=0; j<m; j++)

A[i][j]=b[i]+j;

4. Новая матрица строится на основе одной или нескольких определённых к этому времени матриц.

Например, задана С[n][m]. Получим новую матрицу A[n][m] такой же размерности по следующему простому правилу: положительные числа исходной матрицы увеличим в 10 раз, а отрицательные уменьшим во столько же раз:

for (int i=0; i<n; i++)

for (int j=0; j<m; j++)

{ t= C[i][j];

A[i][j] = t>0 ? t*10 : t/10;

}

Заметим, что старая матрица С сохранилась без изменения, а построенная разместилась на новом месте.

Следует отличать такую задачу от подобной, в которой исходная матрица преобразуется, а изменённые её значения сохраняются на том же месте. Для решения в такой постановке достаточно с помощью тех же циклов записать

t= C[i][j]; С[i][j] = t>0 ? t*10 : t/10;

В таком варианте матрица С задана, она же в результате преобразований изменяется, но остаётся на том же месте.

Замечание.

Этот параграф, безусловно, не претендует на абсолютно полное исследование всех типов задач по теме “Матрицы”. Здесь приведены только наиболее простые из них, которые можно использовать при начальном изучении программирования. Многие, более сложные, задачи состоят, как правило, из рассмотренных выше и других типов задач как из отдельных “кирпичиков”, подсоединяемых один к одному последовательно. В реальных задачах такие блоки могут представлять собой также “матрёшки”, вложенные одна в другую в ветвях if, switch, внутри циклов и т. д. Такие рассмотренные выше фрагменты желательно оформлять в виде функций. Этому посвящён следующий параграф.