Алгоритм решения

Задача 3

Торговое предприятие реализует товары Т1, Т2, Т3, Т4, используя при этом площади торговых залов, оборудование и время обслуживающего персонала. Расход ресурсов на единицу товара и прибыль даны в таблице. Найти оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую максимальную прибыль.

Переменные:

Х1 - количество товара Т1, ед.

Х2 – количество товара Т2, ед.

Х3 – количество товара Т3, ед.

Х4 – количество товара Т4, ед.

Составим систему ограничений:

0,5Х1+0,7Х2+0,6Х3+0,5Х4<=370 (рабочее время)

0,3X1+0,4X2+0,2X3+0,3X4<=100 (оборудование)

0,1X1+0,3X2+0,2X3+0,2X4<=90 (площади торговых залов)

Х1>=0, Х2>=0, Х3>=0, Х4>=0 (не отрицательность переменных)

F max = 5X1+8X2+6X3+6X4 (прибыль)

Решение задачи начинается с ввода условий задачи:

1. Оформление исходной таблицы;

2. Ввод исходных данных(объемы ограничений, технико-экономические коэффициенты, коэффициенты целевой функции).

3. Ввод зависимостей:

В ячейку F3 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(B$2:E$2;B3:E3). Отсюда она копируется в «левую часть», то есть в ячейки F5, F6, F7.

Алгоритм создания функции в ячейке F3

· Курсор в ячейку F3.

· На вкладке Формулы щелкаем по кнопке Вставить функцию, выберите категорию Математические и функцию СУММПРОИЗВ. Щелкните на кнопке ОК.

· В строке Массив 1 введите интервал B$2:E$2, а в строке Массив 2 – B3:E3. Адреса ячеек вводим щелчком на нужных ячейках или выделением диапазона ячеек.

· Щелкните на кнопке ОК. В ячейке F3 высвечивается «0», как результат выполнения формулы.

4. Решение. После того как оформили исходную таблицу и ввели все необходимые функции, переходим к решению задачи. На вкладке Данные щелкаем на кнопке Поиск решения. В открывшемся диалоговом окне задаем параметры решения задачи:

· устанавливаем целевую функцию, введя адрес ячейки $F$3;

· устанавливаем направление ЦФ, равное максимальному;

· вводим адреса искомых переменных $B$2:$E$2;

· вводим граничные условия и ограничения. Для этого переводим курсор в окно Ограничения и щелкаем по кнопке Добавить.

Открывается окно Добавление ограничения.

Задаем условие не отрицательности переменных ($B$2:$E$2>=0). Заканчиваем ввод ограничения щелчком по кнопке Добавить.

Затем вводим ограничение по наличию производственных ресурсов ($F$5:$F$7<=$H$5:$H$7). Заканчиваем ввод ограничений щелчком по кнопке ОК.

Если при вводе ограничений допущены ошибки, то можно вернуться в диалоговое окно Поиск решения и воспользоваться кнопками Изменить…, Удалить.

Решение задачи производится после ввода последнего ограничения. В диалоговом окне Поиск решения щелкните на кнопке Параметры.

В открывшемся диалоговом окне можно вводить условия для решения задач оптимизации всех классов.

Для решения данной задачи необходимо установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применения симплекс метода. Щелкните на кнопке ОК.

Продолжаем решение задачи. В окне Поиск решения щелкните на кнопке Выполнить.

На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения. Здесь выдается сообщение «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены».

Результат оптимального решения высвечивается в таблице после нажатия кнопки ОК.

Оптимальное решение

Анализ оптимального решения выполняется с помощью диалогового окна Результаты поиска решения. Можно вызвать отчеты трех типов: результаты, устойчивость и пределы. Отчеты можно вызывать по отдельности или все сразу. Каждый отчет создается на отдельном листе, перед листом на котором расположена модель.

2.2. Отчет по результатам

Таблица 1 приводит сведения о целевой функции. В столбце Исходное значение показано значение ЦФ до начала вычислений.

Таблица 2 приводит значение искомых переменных, полученные в результате решения задачи.

Таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и граничных условий.

Для ограничений в графе Формула приводятся зависимости, которые были введены в диалоговое окно Поиск решения; в графе Значение приводятся величины использованного ресурса; в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса.

Если ресурс использован полностью (или продукция произведена по плану), то в графе Состояние указывается – связанное; при неполном использовании ресурса (или продукция произведена сверх плана) в этой графе указывается – не связан. Для граничных условий приводятся аналогичные величины, но вместо величины недоиспользованного ресурса показана разность между значением переменной найденной в оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.

Вывод. По оптимальному плану рекомендуется включить в товарооборот два вида товаров Т1 – 50 ед. и Т3 – 425 ед. Второй и четвертый виды товара продавать нецелесообразно. Целевая функция (максимум прибыли) составит 2800 денеж.ед.. Полностью использованы два вида ресурсов – оборудование и площадь, рабочее время осталось в резерве (280 чел.-час.).

2.3. Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивостисостоит из двух таблиц.

В таблице 1 показаны:

· результат решения задачи;

· нормированная стоимость, то есть дополнительные двойственные переменные, которые показывают, как изменится целевая функция при принудительном включении этой продукции в оптимальное решение;

· коэффициенты целевой функции;

· предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение;

В таблице 2 приводятся аналогичные значения для ограничений:

· величина использованных ресурсов;

· теневая цена, то есть двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу;

· значение приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Вывод.При принудительном включении в оптимальный товарооборот не вошедших видов товаров Т2 и Т4, прибыль снизится с каждой единицей товара на 2 и 1 денеж.ед. соответственно.

При увеличении количества оборудования и площади торгового зала на единицу прибыль возрастет на 10 и 20 денеж.ед. соответственно.

Состав оптимального товарооборота не изменится, если прибыль от единицы товара будет оставаться в пределах:

· Т1 – от 3 (5-2=3) до 9 (5+4=9) денеж.ед.,

· Т2 – не более 10 (8+2=10) денеж.ед.,

· Т3 – от 4,67 (6-1,33=4,67) до 10 (6+4=10) денеж.ед.,

· Т4 – не более 7 (6+1=7) денеж.ед.

Состав оптимального товарооборота также не изменится, если наличие ресурсов будет оставаться в пределах:

· Рабочее время – от 280 (370-90=280) и более чел.-ч.,

· Оборудование – от 90 (100-10=90) до 190 (100+90=190) маш.-ч.,

· Площадь – от 33,33 (90-56,67=33,33) до 100 (90+10=100) м².

2.4. Отчет по пределам

В отчете показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции вошедшей в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Здесь приводятся:

· Значения переменных в оптимальном решении;

· Нижние пределы изменения значений переменных;

· Значение целевой функции при выпуске данного типа продукции на нижнем пределе.

· Верхние пределы изменения переменных;

· Значение целевой функции при выпуске продукции, вошедшей в оптимальное решение на верхних пределах.

Вывод.Найденное оптимальное решение действительно является наилучшим, поскольку только при полученных значениях переменных целевая функция (прибыль) будет максимальной – 2800 денеж.ед.