Решение

Примем в задаче следующие переменные:

Х1 – площадь озимой ржи, га;

Х2 – площадь яровой пшеницы, га;

Х3 – площадь картофеля, га.

Ограничения:

Х1+Х2+Х3=1000 (пашня)

16Х1+20Х2+80Х3<=30000 (трудовые ресурсы)

32Х1+40Х2>=32000 (производство зерна)

250Х3>=40000 (производство картофеля)

Целевая функция – минимум материально-денежных затрат:

F min = 214Х1+226Х2+782Х3

Чтобы привести задачу к каноническому виду, введем дополнительные неизвестные Y1, Y2 и Y3.

Х1+Х2+Х3=1000

16Х1+20Х2+80Х3+Y1=30000

32Х1+40Х2-Y2=32000

250Х3-Y3=40000

Fmin=214Х1+226Х2+782Х3+0Y1+0Y2+0Y3

Как видно из системы уравнений, дополнительные неизвестные Y2 и Y3 имеют отрицательный знак, а, следовательно, не могут быть базисными неизвестными (по условию не отрицательности). В первом уравнении нет такой неизвестной, которая принадлежала бы только этому уравнению. Поэтому для получения исходного базисного решения в эти уравнения введем искусственные неизвестные Z1, Z2, Z3 с положительным единичным коэффициентом. Таким образом, задача принимает вид:

Х1+Х2+Х3+Z1=1000

16Х1+20Х2+80Х3+Y1=30000

32Х1+40Х2-Y2+Z2=32000

250Х3-Y3+Z3=40000

Искусственные неизвестные самостоятельного экономического значения не имеют. В целевую функцию они не входят.

Z1=1000- (Х1+Х2+Х3)

Y1=30000 - (16Х1+20Х2+80Х3)

Z2=32000 – (32Х1+40Х2-Y2)

Z3=40000 – (250Х3-Y3)

Fmin=0-(-214Х1-226Х2-782Х3)

Первый опорный план

Базис	СЧ	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	СЧ/РС
Z1
Y1
Z2						-1
Z3							-1
F		-214	-226	-782
Сумма Z						-1	-1

В таблицу добавляется строка «Сумма Z». Ее значения определяются суммой коэффициентов по строкам с искусственными неизвестными.

Оптимальное решение будет найдено тогда, когда Z выйдут из базиса, при этом в строке целевой функции должны быть только отрицательные значения или нули.

Если Z из базиса вышли, но при этом в строке целевой функции есть положительные коэффициенты, то решение продолжается и разрешающий столбец выбирается по наибольшему положительному значению в строке целевой функции.

Если Z не вышли из базиса, но в строке «Сумма Z» нет положительных значений, то задача не имеет оптимального решения.

Наличие Z в базисе первого опорного плана нашей задачи говорит о том, что решение не оптимально, его надо улучшать. Разрешающий столбец определяется по максимальному положительному коэффициенту в строке «Сумма Z». Разрешающая строка, значения во второй симплексной таблице находятся по тому же алгоритму, что и в задачах с естественным базисом.

Переходим ко второй симплексной таблице.

Второй опорный план

Базис	СЧ	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	СЧ/РС
Z1							0,004
Y1							0,32
Z2						-1
Х3							-0,004
F		-214	-226				-3,128
Сумма Z						-1	0,004

Наличие Z в базисе второй таблицы говорит о том, что решение не оптимально, его надо улучшать.

Третий опорный план

Базис	СЧ	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	СЧ/РС
Z1		0,2				0,025	0,004
Y1						0,5	0,32
Х2		0,8				-0,025
Х3							-0,004
F		-33,2				-5,65	-3,128
Сумма Z		0,2				0,025	0,004

Наличие Z в базисе третьей таблицы говорит о том, что решение не оптимально, его надо улучшать.

Четвертый опорный план

Базис	СЧ	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3
Х1						0,125	0,02
Y1						0,5	0,32
Х2						-0,125	-0,016
Х3							-0,004
F						-1,5	-2,464

Вывод. Поскольку все Z вышли из базиса, найден оптимальный план. В структуру посевных площадей вошли все три культуры: озимая рожь (Х1) – 200 га, пшеница (Х2) – 640 га, картофель (Х3) – 160 га. Условие о том, что пашня должна быть полностью занята посевами – выполнено. Остались не использованы 1200 чел.-ч. трудовых ресурсов. Зерна и картофеля произведено по плану. Затраты на производство минимальны и составляют 312560 руб.

При увеличении плана производства зерна и картофеля на 1 ц материально-денежные затраты на производство возрастут на 1,5 и 2,46 руб. соответственно.