Пример 1.
Найти локальный экстремум функции 
Решение.
Найдем частные производные:
Найдем вторые частные производные функции по переменным 
и запишем второй дифференциал 
:
Таким образом, получили квадратичную форму:
Применим критерий Сильвестра.
Значит,
-положительно-определенная квадратичная форма и в точке 
минимум.
Пример 2.
Найти локальные экстремумы функции 
.
Решение.
Найдем частные производные первого порядка:
Приравняем их к нулю и запишем из получившихся уравнений систему:
Решаем систему
Таким образом получаем две критические точки
Для того чтобы определить являются ли они точками локального экстремума составим квадратичную матрицу с коэффициентами равными частным производным второго порядка, и исследуем ее на знакоопределенность
Квадратичная форма положительно определенная, значит в точке 
- локальный минимум.
Квадратичная форма не является знакоопределенной, значит, экстремума в точке 
нет.
