ТЕОРЕМА 1 (Ферма).

38)

Гиперболойназывается геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.

- каноническое уравнение гиперболы

Свойства:

1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x=±a.

2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.

3) Из уравнения гиперболы получаем:

Исследуем кривую методами, разработан-

ными в математическом анализе:

а)

б) линия имеет асимптоты

в)

=>функция возрастает при xϵ(a; +∞) (y’ > 0) ,

убывает при xϵ(– ∞; –a) (y’ < 0) ,

экстремумов нет

(критические точки x = 0ϵD(y) и x = ± a – граничные);

г)

=> кривая всюду выпуклая

Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.

Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной(фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – мнимой осью.

Величины a и b называются действительной и мнимой полуосьюсоответственно.

Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, тоотрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называютсяфокальными радиусами точки M

Величина Ɛ , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.

Величина Ɛ характеризует форму гиперболы.

Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y).

Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x > 0), то

r1 = | MF1 | = a + Ɛx , r2 = | MF2 | = – a + Ɛx .

Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то

r1 = | MF1 | = – (a + Ɛx) , r2 = | MF2 | = – (– a + Ɛx) .

Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной. Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны.

= > можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет

xy=0,5a2 .

Это уравнение называют уравнением равнобочной гиперболы, отнесенной к асимптотам.

71)

ТЕОРЕМА 1 (Ферма).

Пусть функция y = f(x) определена на некотором интервале (a; b) и в точке x принимает наибольшее или наименьшее значение на (a; b). Если производная f ’(x) существует, то она равна нулю.

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что, если в точке x функция а принимает наибольшее или наименьшее значения, то касательная в точке (x, f (x)) к графику функции f (x) параллельна оси абсцисс Ox.