Основные характеристики выборки

Статистика – это наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о разнообразнейших массовых явлений в жизни.

Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения товаров, прогнозирует рост и падение производства и потребления.

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Генеральная совокупность – это вся совокупность однородных объектов, которую изучают относительно некоторого признака, который характеризует эти объекты.

Выборкой называют совокупность случайно выбранных объектов из генеральной выборки.

Статистическим распределением называют перечисление вариант и соответствующих им частот.

Эмпирической функцией распределения называют функцию , которая определяет для каждого х относительную частоту , то есть где - число вариант меньших х, - объем выборки.

Основные числовые характеристики выборки:

Медиана – это так называемое среднее значение упорядоченного ряда значений случайной величины:

Мода – это вариант, который имеет большую частоту, встречается чаще других.

Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины выборки.

Среднее выборочное -

Дисперсия -

Среднее квадратичное отклонение -

Коэффициент вариации -

Подобно тому, как графики всех парабол можно получить с помощью геометрических преобразований одной параболы , так и все кривые нормальных распределений можно получить с помощью геометрических преобразований одной кривой. Эту кривую называют кривой нормального распределения, или гауссовой кривой: .

Правило трех сигм:

68% (или приблизительно ) всех значений нормального распределения случайной величины Х имеют отклонение от среднего значения, по абсолютной величине не превышающее среднее квадратичное отклонение , а 96% всех значений – не превышающее . Почти все значения (точнее, 99,7 всех значений) имеют отклонение от среднего, не превышающего по абсолютной величине утроенное среднее квадратичное отклонение .

Пример 1.Найдите размах, моду, медиану и среднее значение ряда данных некоторой случайной величины 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Постройте полигон частот значений случайной величины . Укажите на рисунке размах, моду, медиану заданного ряда данных.

Решение.

Размах выборки: .

Среднее значение: .

Мода выборки: , так как число 2 повторяется чаще всего.

Медиана: , так как именно это число стоит в центре ряда.

Постоим полигон частот.

Пример 2.Выигрыши (в грн.), которые приходятся на один билет в каждой их двух лотерей, имеют следующие законы распределения:

1)

2)

Какой из этих лотерей вы отдадите предпочтение?

Решение.

Найдем математическое ожидание каждого распределения.

1) .

2) .

Сравним два числа и получим, что вторая выгодней.

Пример 3. Задана генеральная совокупность из 20 элементов. Выполнить задания:

1) построить статистическое распределение и ее эмпирическую функцию распределения;

2) вычислить ее числовые характеристики выборки: среднее, дисперсию и среднее квадратичное отклонению

Решение.

Дана генеральная выборка:

15,19,13,12,9,14,15,19,12,17,13,9,15,12,15,14,18,16,15,12.

1) Статистическое распределение выборки имеет вид:

Эмпирическая функция распределения имеет вид:

где - число вариантов, меньших чем х; - объем выборки; Тогда имеем:

или

2) Числовые характеристики выборки:

Среднее

Выборочная дисперсия

Среднее квадратичное отклонение