Туннельный эффект

Рис. 1.7. Потенциальный барьер конечной ширины

Рассмотрим поведение квантово-механической частицы при прохождении через потенциальный барьер конечной ширины (рис.1.7). Ограничимся рассмотрением одномерной задачи, когда ось x параллельна движению частицы. В каждой из трех областей I, II и III потенциальная энергия микрочастицы постоянна, но при переходе из одной области в другую меняется скачком. Эта задача моделирует многие физически важные явления, например, выход электронов из металлов, распад атомных ядер и др.

Уравнение Шредингера в этом случае будет иметь вид

(1.40)

где потенциальная энергия

,

E - полная энергия частицы.

В области I уравнение (1.40) будет иметь вид

(1.41)

Частное решение уравнения (1.41) будем искать в виде волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x:

. (1.42)

Подставляя (1.42) в (1.41), получим

(1.43)

Общее решение уравнения (1.41) для области I представляет собой суперпозицию плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях оси x:

. (1.44)

Для области II уравнение Шредингера запишется в виде

. (1.45)

Общее решение этого уравнения будет иметь вид

, (1.46)

где волновое число в области II

. (1.47)

Уравнение Шредингера для микрочастицы в области III будет иметь тот же вид, что и в области I. Общее решение для этой области будет отличаться от решения (1.44) тем, что в области III нет отраженной волны (b₃ = 0)

. (1.48)

Для вычисления коэффициентов a₁, b₁, a₂, b₂ и a₃ воспользуемся граничными условиями, согласно которым на границах областей волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны.

(1.49)

Для простоты вычислений можно положить a₁=1, т.к. все коэффициенты b₁, a₂, b₂ и a₃ можно, не изменяя общности задачи, разделить на a₁. Тогда из условий (1.49) получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных b₁, a₂, b₂ и a₃

(1.50)

В случае, когда энергия частицы меньше высоты потенциального барьера (E < U), волновое число k₂ будет мнимым и его можно представить в виде k₂ = ik, где

- действительное.

Вероятность обнаружить частицу за потенциальным барьером (в области III) равна квадрату модуля амплитуды, прошедшей в эту область волны: D = |a₃|² = = a₃a₃^* . Величину D называют коэффициентом прозрачности барьера.

Решая систему уравнений (1.50) с учетом граничных условий (1.49), получим следующее выражение для коэффициента прозрачности:

. (1.51)

Формулу (1.51) можно значительно упростить, если положить

,

что для реальных ситуаций справедливо, и пренебречь слагаемыми, значительно меньшими, чем экспонента. Тогда

. (1.52)

Отсюда видно, что проницаемость барьера сильно зависит от ширины барьера d и величины U₀ - E.

В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 1.8) проницаемость барьера выражается приближенной формулой

Рис. 1.8. Потенциальный барьер произвольной формы

, (1.53)

которая, как нетрудно увидеть, является обобщением формулы (1.52).

Таким образом, квантово-механической частице для преодоления потенциального барьера необязательно иметь энергию больше, чем высота барьера. Она как бы проходит через “туннель” (заштрихованная область на рис. 1.8), расположенном на высоте E, где E - полная энергия микрочастицы. В связи с этим рассмотренное явление называют туннельным эффектом.