Квантовый гармонический осциллятор

Осциллятором называют физическую систему, совершающую колебания. Если колебания описываются синусоидальной функцией, то такой осциллятор называется гармоническим. Примерами классических осцилляторов могут служить математический маятник, груз на пружине и т.д. Движение этих осцилляторов происходит под действием квазиупругой силы , где x - отклонение осциллятора от положения равновесия, k - упругая постоянная. Потенциальная энергия гармонического осциллятора

(1.36)

Понятие осциллятора применяется также к немеханическим колебательным системам. В частности, электрический колебательный контур является электрическим осциллятором.

В квантовой механике понятие силы не используется. Поэтому аналогом классического осциллятора в квантовой физике будет квантовый гармонический осциллятор, состояние которого описывается уравнением Шредингера с потенциальной функцией вида (1.36). Такие квантовые колебания совершают атомы в молекулах, ионы в узлах кристаллической решетки твердого тела (фононы), валентные электроны в твердых телах относительно ионного остова (плазмоны) и др.

Стационарное уравнение Шредингера для одномерного случая (линейный гармонический осциллятор) имеет вид

(1.37)

здесь, как обычно в квантовой механике, Е - полная энергия квантового осциллятора.

Уравнение (1.37) имеет решения только при значениях энергии Е_n, равных

(1.38)

Энергетические уровни квантового гармонического осциллятора эквидистантны, т.е. находятся на равных расстояниях друг от друга (рис. 1.5). На этом рисунке через ±x_0n обозначены точки поворота классического осциллятора с такой же энергией E_n, как и у квантового осциллятора.

Рис. 1.5. Схема энергетических уровней квантового гармонического осциллятора

Таким образом, полная энергия квантового гармонического осциллятора может принимать только определенные дискретные значения. Наименьшее воз-можное значение энергии Существование отличного от нуля минимального значения энергии квантового гармонического осциллятора, так же как и для частицы в потенциальной яме, с неизбежностью вытекает из принципа неопределенностей Гейзенберга. Можно показать, что - это как раз та минимальная энергия, которой должен обладать квантовый гармонический осциллятор, чтобы соотношения неопределенностей были удовлетворены.

Собственные волновые функции квантового гармонического осциллятора могут быть представлены в виде

(1.39)

где - полиномы Чебышева-Эрмита.

Полиномы Чебышева-Эрмита низших степеней имеют вид

Из свойств полиномов Чебышева-Эрмита следует, что все их корни некратные и вещественные. Число корней полинома равно его степени n, в чем легко убедиться, анализируя приведенные выше выражения для полиномов низших степеней. На рис. 1.6 приведены распределения плотности вероятности для основного состояния квантового гармонического осциллятора (n = 0) и для двух возбужденных состояний (n = 1 и 5). На этом же рисунке показаны штриховыми кривыми вероятности найти частицу в окрестности точки x для классического осциллятора, совершающего гармонические колебания с теми же значениями полной энергии Е. Вертикальные штриховые линии соответствуют точкам поворота классического осциллятора ± x₀₀, ± x₀₁, ± x₀₅, и т.д. Эта вероятность, очевидно, пропорциональна его скорости, т.е. обратной величине квадратного корня из кинетической энергии. Следовательно, для классического осциллятора, где Е и U - полная и потенциальная энергия соответственно. Отсюда видно, что вблизи точек поворота w_кл(x) стремится к бесконечности. Вблизи положения равновесия скорость осциллятора максимальна и соответственно классическая вероятность минимальна.

При малых n, что соответствует низшим энергетическим состояниям, квантовый и классический осцилляторы существенно ведут себя по разному. Однако, при достаточно больших энергиях функция приближается к классической функции распределения как к некоторой средней величине, относительно которой она совершает быстрые осцилляции.

Рис.1.6. Распределение плотности вероятности для трех состояний квантового гармонического осциллятора

Отметим еще одну особенность квантово-механического осциллятора. Как видно из рис. 1.6, вероятность обнаружить микрочастицу, совершающую квантово-механические колебания вне пределов, ограничивающих движение классического осциллятора, не равна нулю. Такое поведение квантово-механического осциллятора связано с более общим свойством микрочастиц проникать за пределы потенциальных барьеров, недоступных с точки зрения классической физики. Эта проблема будет подробно рассмотрена в следующем разделе.