Первообразная и неопределенный интеграл

Решаем дифференциальное уравнение

на интервале , т.е. находим такую функцию , что . Так как , то уравнение (1) можно переписать в дифференциалах:

Любое решение такого уравнения называется первообразной функции . Итак, функция называется первообразной функции на интервале , если для всех . Случаи и/или не исключаются. Ясно, что если первообразная, то и также первообразная. Наша задача – найти все решения уравнения (1). Функция двух переменных называется общим решением уравнения (1) или, по-другому, неопределенным интегралом функции , если при подстановке вместо любого числа получаем частное решение уравнения (1) и любое частное решение уравнения (1) получается таким образом.

Неопределённый интеграл обозначается . Функция называется подинтегральной, дифференциал называется подинтегральным выражением, а -- знак интеграла (растянутая латинская буква S, первая буква слова Sum – сумма). Возникает вопрос о существовании первообразной и неопределенного интеграла. В разделе «Определенный интеграл», § Формула Ньютона-Лейбница будет доказано, что первообразная непрерывной функции всегда существует.

Лемма.Пусть тождественно для всех . Тогда -- константа на этом интервале.

Доказательство. Обозначим для какой-либо точки . Возьмём произвольную точку и к разности применим теорему Лагранжа: для некоторой точки . Отсюда и лемма доказана.□

Теорема о первообразных.Две первообразных одной и той же функции, определенной на интервале, отличаются на константу.

Доказательство. Пусть и -- первообразные функции . Тогда откуда, по лемме -- константа. Следовательно, . □

Следствие.Если -- первообразная функции , то .

Заметим, что если в качестве ОДЗ функции взять не интервал, а, например, такое несвязное множество как объединение двух интервалов , то любая функция вида

имеет нулевую производную, и тем самым лемма и теорема о первообразных перестает быть верной в этом случае.