КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Электромагнетизма

Методические указания к выполнению

Самостоятельной работы по физике

Архангельск

Составители:

В.Э.Махин, ст. преп.;

Н.В. Шабунина, ст. преп.;

М.Г. Берденникова, доцент

Рецензент

А.В. Соловьёв,

канд. техн. наук, доцент кафедры физики и химии Арктического морского института имени В.И. Воронина

УДК 535

Махин В.Э. Основы электромагнетизма: методические указания к выполнению самостоятельной работы по физике / В.Э. Махин, Н.В. Шабунина, М.Г. Берденникова. – Архангельск: Изд-во С(А)ФУ им. М.В. Ломоносова, 2013. – 106с.

Подготовлены кафедрой физики С(А)ФУ им. М.В. Ломоносова.

В методических указаниях изложены основы электрических и магнитных взаимодействий, необходимые для выполнения расчётно-графических работ, приведены примеры решения задач, варианты контрольных заданий, а также необходимый справочный материал.

Предназначены для студентов института строительства и архитектуры, обучающихся по направлениям подготовки 270800.62«Строительство» и 271101 «Строительство уникальных зданий и сооружений» очной формы обучения.

Ил. 78. Табл. 3. Библиогр. 6 назв.

Ó Северный (Арктический) федеральный

университет имени М.В. Ломоносова, 2013

Ó В.Э. Махин, Н. В. Шабунина,

М.Г. Берденникова, 2013

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Для успешного решения задач необходимо:

1) проработать конспект лекций и учебник по соответствующему разделу курса физики и изучить раздел, основные теоретические сведения данной работы;

2) внимательно прочитать и уяснить условие и произвести краткую запись исходных данных задачи в одной и той же системе единиц;

3) математически (с помощью системы уравнений) описать состояния рассматриваемой системы, происходящий процесс; установить связь между состояниями одной системы или нескольких систем на основании физических законов и определений;

4) проверить размерность искомой величины;

5) произвести числовой расчет искомой величины, используя правила действий с приближенными числами;

6) критически оценить полученный результат.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Учение об электричестве и магнетизме включает три группы физических понятий и представлений. К первой группе относятся основные понятия и общие принципы, определяющие электрические и магнитные явления; ко второй – электрические и магнитные свойства веществ; к третьей – практическое применение электромагнетизма.

Опыты показывают, что между электрически заряженными и намагниченными телами действуют силы, называемые электромагнитными или электродинамическими. С позиции современных представлений о природе этих сил принято считать, что электромагнитные взаимодействия передаются через силовое поле, называемое электромагнитным. В физике строго научное развитие электромагнетизма началось в CIC веке, в основном благодаря трудам Майкла Фарадея (1791-1867) и Джеймса К. Максвелла (1831-1879). В этих трудах были заложены основы физической теории электромагнитного поля.

Электрическое поле – это составляющая электромагнитного поля, обусловленная электрическими зарядами и изменением магнитного поля, оказывающая силовое воздействие на неподвижные заряженные тела и частицы.

Магнитное поле – это составляющая электромагнитного поля, обусловленная движущимися электрическими зарядами и изменением электрического поля, оказывающая силовое воздействие на движущиеся заряженные тела и частицы.

2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Закон Кулона. Напряжённость электрического поля

Закон Кулона определяет силу взаимодействия между двумя точечными зарядами (рис. 1):

Рис. 1

· в векторной форме:

· в скалярной форме:

где q₁и q₂ – взаимодействующие заряды; – расстояние между зарядами; e₀ – электрическая постоянная; e – диэлектрическая проницаемость среды, k – постоянная в законе Кулона.

Как показали эксперименты e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м, k = =
= 9×10⁹ (Н×м²)/Кл².

Вектор напряжённости является силовой характеристикой электрического поля:

или ,

где – сила, действующая на пробный положительный заряд q¢ со стороны электрического поля; q¢ – пробный положительный точечный неподвижный заряд, помещённый в рассматриваемую точку поля.

Примеры расчёта напряжённостей электрических полей

Напряжённость электрического поля точечного заряда:

· в векторной форме

· в скалярной форме

где q – заряд, создающий электрическое поле; r – расстояние от заряда q до рассматриваемой точки.

Принцип суперпозиции напряжённости электрических полей (принцип независимости действия электрических полей):

,

где – напряжённость результирующего поля, создаваемого N точечными зарядами; – напряжённость поля одного точечного заряда.

Напряжённость электрического поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным равномерно заряженным проводником:

,

где t – линейная плотность заряда (t = q/ ); x – расстояние от проводника до рассматриваемой точки.

Напряжённость электрического поля, созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

,

где s – поверхностная плотность заряда (s = q/S).

Напряжённость поля равномерно заряженной сферы (рис. 2):

Рис. 2

Поток вектора напряжённости электрического поля. Теорема Гаусса для электрического поля

Поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность площадью S определяется:

· для однородного поля плоскую поверхность площадью S ( )

или ,

где – вектор, по модулю равный площади рассматриваемой поверхности и сонаправленный с вектором нормали к ней (рис. 3);

Рис. 3

· для неоднородного поля через разомкнутую поверхность площадью S (рис. 4)

Рис. 4

· для неоднородного поля через замкнутую поверхность площадью S

.

Теорема Гаусса

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален величине заряда находящегося внутри этой поверхности и не зависит от его распределения

,

где - заряд, находящийся внутри рассматриваемой поверхности S.

Потенциал электростатического поля. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле

Потенциал электростатического поля является его энергетической характеристикой и определяется выражением

,

где – потенциальная энергия, которой обладает пробный точечный положительный заряд q¢, помещённый в рассматриваемую точку поля.

Потенциал поля точечного заряда

,

где q – заряд, создающий электрическое поле; r – расстояние от заряда q до рассматриваемой точки.

Принцип суперпозиции для потенциала:

,

где j – потенциал результирующего поля, создаваемого N точечными зарядами; j_i – потенциал поля одного точечного заряда (потенциал поля положительного заряда – положителен, поля отрицательного заряда – отрицателен).

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов

где и – взаимодействующие заряды; r – расстояние между зарядами.

Работа по перемещению точечного заряда q¢ в электростатическом поле

;

,

где Dj = j₂ – j₁ – разность потенциалов между двумя точками поля; U – электрическое напряжение или падение потенциала.

Связь между напряжённостью и потенциалом:

,

где – градиент потенциала.

Или .

Электрическое поле в веществе.

Напряжённость электрического поля в веществе

,

где – напряженность поля сторонних зарядов, – напряженность поля связанных зарядов.

Вектор поляризованности диэлектрика

,

где c – диэлектрическая восприимчивость.

Вектор электрического смещения

или ,

где e = 1 + c – диэлектрическая проницаемость среды.

Электроёмкость. Конденсаторы. Энергия электрического поля

Электроёмкость – физическая величина, численно равная заряду, который необходимо сообщить рассматриваемому проводнику для изменения его потенциала на единицу.

Электроёмкость уединённого (удалённого от других тел) проводника

C = q/j,

где q – заряд проводника; j – потенциал проводника.

Электроёмкость заряженной сферы

C = 4pee₀R,

где R – радиус сферы.

Конденсатор – электрический прибор, состоящий из двух проводников (называемых обкладками), расположенных так, что поле в основном сосредоточено между этими проводниками, разделённых слоем диэлектрика. Служит для накопления электростатической энергии.

Электроёмкость конденсатора

C = q/U,

где q – заряд одной обкладки конденсатора; U = j₁ – j₂ – напряжение конденсатора.

Электроёмкость плоского конденсатора

,

где S – площадь пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами конденсатора; e – диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора.

Электроёмкость цилиндрического конденсатора

,

где L – длина конденсатора; R₁ и R₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора соответственно.

Электроёмкость сферического конденсатора

,

где R₁ и R₂ – радиусы, внутренней и внешней обкладок конденсатора соответственно.

Соединение конденсаторов в батарею:

· последовательное (рис. 5)

q = q₁= q₂; U=U₁+U₂; ;

Рис. 5

· параллельное (рис. 6)

q = q₁+ q₂; U=U₁=U₂; C = C₁+C₂.

Рис. 6

Энергия системы зарядов

,

где j_i – потенциал поля, создаваемый в той точке, где находится заряд q_i, всеми зарядами, кроме i-го.

Энергия заряженного уединённого проводника

.

Энергия заряженного конденсатора

.

Объёмная плотность энергии однородного электрического поля

,

где E – напряжённость электрического поля в объёме V.

2.2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Под электрическим током понимается процесс упорядоченного движения заряженных частиц. Для возникновения электрического тока в рассматриваемой среде необходимо выполнение таких условий как наличие свободных электрических зарядов и существование сил, способных упорядочить движение электрических зарядов.

Количественной мерой электрического тока является параметр, называемый силой тока I. Это величина, численно равная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника за единицу времени:

.

Электрический ток может быть распределён по поверхности, через которую он течёт, неравномерно. Более детально его можно охарактеризовать с помощью вектора плотности тока . Этот вектор численно равен силе тока di через расположенную в данной точке перпендикулярную к направлению движения носителей площадку dS_^, отнесённой к величине этой площадки.

,

где dS_^ – элементарная площадь, выбранная перпендикулярно направлению тока. За направление принимается направление вектора скорости упорядоченного движения положительных носителей.

Законы Ома

Для однородного (не содержащего элементы, где действуют неэлектростатические (сторонние) силы), участка цепи

,

где R – омическое сопротивление участка электрической цепи;
U – напряжение на концах однородного участка.

Для неоднородного участка цепи

,

где U₁₂ – напряжение на неоднородном участке цепи; – электродвижущая сила на рассматриваемом участке электрической цепи; j₁ и j₂ – потенциалы на концах участка; R₁₂– сопротивление участка.

Для замкнутой цепи

,

где – электродвижущая сила источника тока рассматриваемой электрической цепи (источник тока - это элемент электрической цепи, поддерживающий в этой цепи ток заданного значения, не зависящего от сопротивления прочих элементов цепи); r – внутреннее сопротивление электрической цепи (сопротивление источника тока).

Электродвижущая сила (ЭДС) – физическая величина, характеризующая работу сторонних сил (сил не электростатической природы) по перемещению единичного положительного заряда по проводящей среде

.

Электрическое сопротивление R – физическая величина, характеризующая способность проводящей среды препятствовать прохождению электрического тока. Для проводящих сред (металлов, полупроводников, электролитов и т.п.) электрическое сопротивление определяется уравнением

,

где r – удельное сопротивление металла; – длина проводника;
S – площадь поперечного сечения проводника.

Зависимость удельного сопротивления металлов от температуры определяется уравнением

,

где r – удельное сопротивление металла при температуре t °C; r₀ – удельное сопротивление металла при температуре t = 0 °C; a – температурный коэффициент сопротивления.

Соединение проводников:

· последовательное (рис.7)

I = I₁= I₂; U = U₁+U₂;

R = R₁+R₂;

Рис. 7

· параллельное (рис. 8)

I = I₁+ I₂; U=U₁=U₂;

.

Рис. 8

Правила Кирхгофа

Для расчёта разветвлённых электрических цепей, состоящих из нескольких простых контуров, удобно использовать правила Кирхгофа.

1. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю

.

Узлом электрической цепи называется точка, в которой сходится не менее трёх проводников.

2. Алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС

.

Закон Джоуля-Ленца

Этот закон определяет количество теплоты, которое выделяется в проводнике при прохождении по нему электрического тока.

Закон Джоуля-Ленца для участка цепи постоянного тока

Q = P Dt = I ² R Dt = Dt = I U Dt,

где P – электрическая мощность тока; I – сила тока, проходящего по проводнику; U – напряжение на концах проводника; R – сопротивление проводника; Dt – время прохождения электрического тока по проводнику.

Количество теплоты, выделяемое проводником сопротивлением R при прохождении по нему электрического тока величиной I за время dt:

Полное количество теплоты

.

Работа и мощность источника тока

Коэффициент полезного действия источника тока определяется уравнением

,

где Р_{полезн.}= IU – полезная мощность источника питания; Р_полн=I – полная мощность источника питания.

Разность между полной и полезной мощностью приходится на мощность, которая теряется на внутреннем сопротивлении r источника тока. Эта мощность определяется уравнением

P_r = I ² r = I U_r,

где U_r= I r – напряжение на внутреннем сопротивлении источника тока.

2.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Понятие магнитного поля вводится для определения силового взаимодействия между движущимися зарядами (токами). Магнитное поле создаётся либо движущимся зарядом (электрическим током), либо вихревым электрическим полем.

Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции .

Вектор магнитной индукции , полей, создаваемых постоянными токами, рассчитывается на основании закона Био-Савара-Лапласа:

а) в векторной форме

;

б) в скалярной форме

,

Рис. 9

где – элемент тока, создающий в рассматриваемой точке магнитное поле с индукцией (рис. 9); m – магнитная проницаемость среды; m₀ – магнитная постоянная (m₀ = 4p×10^-7, Тл×м/A); – радиус вектор, определяющий положение рассматриваемой точки магнитного поля по отношению к элементу тока; a – угол между элементом тока и радиусом вектором.

Примеры расчета индукции магнитных полей

Индукция магнитного поля в центре кругового проводника радиусом R с током I

.

Индукция магнитного поля бесконечно длинного прямого проводника с током

,

где I – сила тока, проходящего по проводнику; r – расстояние от проводника до рассматриваемой точки.

Индукция магнитного поля прямого проводника конечной длины с током I (рис. 10)

,

Рис. 10

где r₀– кратчайшее расстояние от проводника до рассматриваемой точки поля.

Индукция магнитного поля бесконечно длинного соленоида

B = mm₀ nI,

где n – число витков на единицу длины соленоида.

Индукция магнитного поля тороида (рис. 11):

1) r = r₁, В₁ = 0;

2) r = r₂, ;

3) r = r₃, В₃ = 0,

Рис. 11

где n – число витков на единицу длины средней линии тороида ( ); R₁ и R₂ – внутренний и внешний радиусы тороида соответственно.

Силы в магнитном поле

Сила Ампера – сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током:

а) в векторной форме ;

б) в скалярной форме ,

где – элемент тока; – вектор магнитной индукции поля, a – угол между векторами элемента тока и индукцией магнитного поля.

Направление силы Ампера определяется правилом “левой руки”,

Рис. 12

Сила Лоренца – сила, действующая на движущийся заряд со стороны электрического и магнитного полей

,

где q – движущийся заряд; – вектор скорости заряда; – вектор напряжённости электрического поля; – вектор магнитной индукции.

«Магнитная» составляющая силы Лоренца определяется:

а) в векторной форме ;

б) в скалярной форме ,

где a – угол между векторами скорости заряда и магнитной индукции поля.

Направление магнитной составляющей силы Лоренца, также, определяется правилом “левой руки”, которое условно соответствует рис.13 (для движущегося положительного заряда).

Рис. 13

Движение точечного заряда в однородном магнитном поле .

· При a = 0 «магнитная» составляющая силы Лоренца равна нулю. Движение точечного заряда равномерное, траектория – прямая линия.

· При a = p/2 «магнитная» составляющая силы Лоренца . Движение точечного заряда равномерное, траектория – окружность.

· При 0 < a < p/2 движение точечного заряда равномерное, траектория – винтовая линия.

Контур с током в магнитном поле

Магнитный момент контура с током

или p_m = I S,

где – вектор единичной нормали к контуру; – модуль вектора магнитного момента контура с током; I – сила тока, проходящего по контуру; S – площадь контура.

Механический момент, действующий на контур с током со стороны однородного магнитного поля:

или ,

где В – индукция магнитного поля, в котором находится контур; a – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к контуру .

Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле

W_п = – p_m B = – .

Электромагнитная индукция

Магнитный поток

или ,

где В – индукция магнитного поля, в котором находится контур; a – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к контуру ; S – площадь поверхности, ограниченной рассматриваемым контуром (рис. 12).

Рис. 14

Явление электромагнитной индукции заключается в том, что всякий раз при изменении магнитного потока, пронизывающего контур неподвижного или движущегося проводника, в нём возникает ЭДС индукции. Если рассматриваемый проводник замкнутый, то в нем возникает индукционный ток.

ЭДС индукции и индукционный ток:

, .

Если контур состоит из N витков, ЭДС индукции определяется уравнением

,

где Y = N× – магнитное потокосцепление.

Явление самоиндукции является частным случаем электромагнитной индукции. Оно возникает в проводящей электрический ток среде при изменении силы тока в ней или параметров среды. Так как Y = LI, то ЭДС самоиндукции определяется уравнением

Если нет зависимости индуктивности L от силы тока I, то

,

где L – индуктивность проводящей среды (проводника).

Индуктивность можно рассматривать как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока, создающего магнитное поле. Она зависит от формы и размеров проводника, а также от его магнитных параметров и магнитных характеристик окружающей среды. Индуктивность бесконечно длинного соленоида определяется уравнением

L = m m₀ nV,

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; V – объём соленоида; m – магнитная проницаемость сердечника соленоида.

Энергия магнитного поля

.

Объёмная плотность энергии для магнитного поля

.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Два точечных заряда 4Q и –Q закреплены на расстоянии 0,10 м друг от друга. Определить положение точечного положительного заряда Q₁ по отношению к заряду – Q, при котором заряд Q₁ будет находиться в равновесии. Силами гравитационного взаимодействия пренебречь.

Дано:4Q; –Q; Q₁; a = 0,10 м.

Найти: x.

Решение: Заряд Q₁ будет находиться в равновесии в том случае, если векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд Q₁ должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 13) может быть выполнено это условие. Считаем, что начало координат совпадает с положением заряда 4Q.

Рис. 15

На участке I (рис.13) на заряд Q₁ действуют две противоположно направленные силы: и . Сила , действующая со стороны заряда 4Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила , действующая со стороны заряда –Q, так как больший (по модулю) заряд 4Q находится ближе к заряду Q₁, чем меньший заряд – Q. Следовательно, равновесие на этом участке невозможно.

Рис. 16

На участке II (см. рис. 14) обе силы и направлены в одну сторону к заряду –Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

Рис. 17

На участке III (см. рис. 15) силы и направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд –Q находится ближе к заряду Q₁, чем больший заряд 4Q. Таким образом, на участке III можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, то есть

| | = | |.

Проведём ось x через заряды. Начало отсчёта выберем в точке, где расположен заряд 4Q.

Пусть искомое расстояние от меньшего заряда до заряда Q₁ равнох,тогда расстояние от большего заряда будет, а + х. Выразим F₁, и F₂, используя закон Кулона:

.

Решая это уравнение, найдем:

x₁ = a и x₂ = – a/3.

Кореньx₂ не удовлетворяет условию задачи (в этой точке силы F₁ и F₂ хотя и равны по модулю, но расположены в области II).

Окончательно получаем

x = a, тогдаx = 0,1 м.

Ответ:x = 0,1 м.

Пример 2.Два точечных заряда 0,20 нКл и –0,30 нКл находятся на расстоянии 0,50 м друг от друга в вакууме. Найти напряжённость и потенциал результирующего электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 0,40 м от первого заряда и 0,20 м от второго.

Дано:q₁ = 0,20 нКл; q₂ = – 0,30 нКл; a = 0,50 м; r₁ = 0,40 м;
r₂ = 0,20 м.

Найти: E; j.

Решение:Напряжённость и потенциал результирующего электростатического поля, создаваемого зарядами, рассчитаем по принципу суперпозиции:

и j = j₁ + j₂.

Рис. 18

Учитывая, что напряжённость электростатического поля является векторной величиной, рассчитаем модуль вектора по теореме ксинусов (рис. 16)

. (1)

Угол a = 180 – b. Согласно формулам приведения тригонометрии cosa = cos(180 – b) = – cosb. По теореме косинусов

.

Тогда . (2)

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cosa. По формуле (2) найдём

.

Модули напряжённостей полей, создаваемых точечными зарядами q₁ и q₂, определяются по формулам:

; . (3)

Потенциалы полей, создаваемых точечными зарядами q₁ и q₂, в заданной точке определяются по формулам:

; . (4)

С учётом зависимостей (1), (3) и (4) получаем конечные формулы для вычисления величин Е и j:

.

Произведём вычисления напряжённости результирующего поля, учитывая, что k = = 9×10⁹ (Н×м²)/Кл²:

= 82,1 В/м.

Произведём вычисления потенциала результирующего поля

Ответ: Е = 82,1 Н/Кл; j = – 9 В.

Пример 3. Электростатическое поле создаётся нитью заряженной с линейной плотностью заряда t = 1,00 мкКл/м. Длина нити равна 0,13 м. Определить модуль напряжённости данного поля в точке, находящейся на расстоянии 0,12 м от одного и 0,05 м от другого конца нити.

Дано:t = 1,00×10^–6 Кл; ℓ = 0,13 м; a = 0,12 м; b = 0,05 м.

Найти:E.

Заряд участка dy определяется уравнением:

.

Вектор напряжённости разложим на две составляющие

.

Величины этих составляющих определяются по формулам

dE_^=dE ; dE_||=dE .

Модуль напряжённости поля заряда dq можно рассчитать по формуле для точечного заряда. Тогда:

.

Напряжённость поля всей нити (по принципу суперпозиции) рассчитывается по формуле

.

Составляющие всех элементов dy направлены вдоль одной прямой, а составляющие всех элементов dy сонаправлены (рис. 17). Тогда векторное интегрирование можно заменить скалярным

Выполним тригонометрические преобразования:

Окончательно получаем:

Треугольник, образованный сторонами ℓ, a, b является «пифагоровым», из геометрии рисунка высота, проведенная из вершины прямого угла, определяется формулой:

.

Получаем

.

Напряженность поля нити определяем по теореме Пифагора

Произведём вычисления:

.

Ответ:Е = 3,21 МВ/м.

Пример 4. Рассчитать напряженность и потенциал электростатического поля на оси равномерно заряженного кольца. Заряд кольца 10,00 мкКл, радиус 0,01 м. Расстояние от оси кольца до рассматриваемой точки 0,20 м.

Дано:q = 10×10^{– 6}Кл; R= 0,01 м; x₀ = 0,20 м.

Найти:j.

Решение:

Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся принципом суперпозиции электростатических полей. Так как кольцо не точечный заряд, то проведём расчёт искомой величины методом дифференцирования. Для этого разобьем нить на бесконечно малые участки длиной dy (см. рис. 20). Каждый такой участок имеет заряд dq и создаёт в точке О электростатическое поле с напряжённостью .

,

где t – линейная плотность заряда (t = q/ ).

Вектор напряжённости разложим на две составляющие

.

Величины этих составляющих определяются по формулам

dE_^=dE ; dE_||=dE .

Модуль напряжённости поля заряда dq можно рассчитать по формуле для точечного заряда. Тогда:

.

Напряжённость поля всей нити (по принципу суперпозиции) рассчитывается по формуле

,

где второе слагаемое обращается в ноль из соображений симметрии, а в первом необходимо учесть, что составляющие всех элементов dℓ сонаправлены (рис. 18).

Тогда векторное интегрирование можно заменить скалярным

Потенциал dj электростатического поля, создаваемого элементов dℓ можно определить по формуле:

Для расчёта потенциала поля всего кольца используем принцип суперпозиции. Для этого проинтегрируем выражение (1), учитывая, что x₀=const; r=const

.

Произведём вычисления:

.

Ответ:E = 0,141 МВ/м, j = 0,45 МВ.

Пример 5. Рассчитатьпотенциал электростатического поля на оси равномерно заряженного диска. Заряд диска 10,00 мкКл, радиус 0,01 м. Расстояние от центра диска до рассматриваемой точки 0,20 м.

Дано: q = 10,00 мкКл = 10×10^–6 Кл; R = 0,01 м; x₀ = 0,20 м.

Найти:j.

Решение: Используем для решения этой задачи результаты, полученные в примере 4. Мысленно выделим на диске кольцо, внутренний радиус которого равен r, а наружный – r + dr (рис. 21).

Рис. 21

Заряд такого кольца ,

где – поверхностная плотность заряда; – площадь поверхности кольца.

Тогда

. (1)

Согласно принципу суперпозиции искомый потенциал в точке

. (2)

Подставим выражение (1) в (2) и проинтегрируем:

.

Произведём вычисления:

Ответ: j = 0,45 МВ.

Пример 6.В вакууме из бесконечности движутся два электрона навстречу друг другу, вдоль одной прямой. Определить минимальное расстояние, на которое частицы смогут приблизиться, если их начальные скорости равны 10⁵м/с и 2∙10⁵м/с. Гравитационным взаимодействием пренебречь.

Дано: q_e =1,6×10^–19 Кл; m_e = 9,1×10^–31 кг; = 10⁵ м/с; =2∙10⁵ м/с.

Найти:r_min.

Решение: Запишем закон сохранения энергии для ситуаций, когда частицы находятся на бесконечном удалении и на минимальном расстоянии друг от друга.

На бесконечном удалении электроны не взаимодействуют друг с другом, поэтому энергия системы приходится на начальные кинетические энергии зарядов

.

При сближении электроны начинают взаимодействовать так. Это приведёт к торможению зарядов. Электрон, обладающий меньшей скоростью, остановится и начнёт движение в обратном направлении. Второй электрон продолжит движение в прежнем направлении. Частицы продолжают сближаться, при этом скорость первой частицы возрастает, второй – убывает. В соответствии с теоремой о движении центра масс, сближение зарядов будет происходить до тех пор, пока их скорости не станут одинаковыми. В этом состоянии полная энергия системы приходится на потенциальную энергию электростатического взаимодействия и кинетические энергии движения частиц (которые одинаковы). Тогда

.

где – конечная скорость, с которой частицы будут двигаться в одном направлении равномерно и прямолинейно.

Запишем закон сохранения энергии

, (1)

Запишем закон сохранения импульса для этих же ситуаций

. (2)

Решаем совместно уравнения (1) и (2), учитывая, что . В результате получаем:

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: r_min = 1,12×10^–2 м.

Пример 7.Электрон, предварительно ускоренный разностью потенциалов 0,10 кВ, влетел в середину плоского воздушного конденсатора параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами конденсатора 0,04 м, длина пластин 0,10 м. Определить минимальное напряжение, которое необходимо приложить к конденсатору, чтобы электрон из него не вылетел. Доказать, что частица движется в конденсаторе по параболической траектории. Действием силы тяжести пренебречь.

Дано: q_e=1,6×10^–19Кл; m_e = 9,1×10^–31 кг; U₁ = 0,10кВ; d = 0,04м;
b = 0,10м.

Найти:U₂.

Решение:В ускоряющем электростатическом поле над электроном совершается работа, которая приводит к приращению его кинетической энергии. По закону сохранения энергии можно записать

,

где – скорость, с которой частица влетает в электростатическое поле конденсатора.

По принципу суперпозиции можно рассматривать движение электрона в конденсаторе как независимое наложение двух движений
(рис. 22):

- равномерное движение вдоль оси X со скоростью ;

- равнопеременное движение вдоль оси Y с ускорением, сообщаемым силой электростатического поля конденсатора ( ).

Вычислим ускорение частицы с помощью второго закона Ньютона

.

Здесь мы использовали связь между напряжением U и напряжённостью E в однородном электростатическом поле:

U = E d.

Координаты x и y электрона изменяются по законам:

x = ₀ t; (1)

y = a_у t²/2 = q_еU₂ t ²/2m_e . (2)

Электрон не вылетит из конденсатора, если попадёт в точку А, находящуюся на краю пластины (см. рис. 22).

Рис. 22

Для точки А x = b; y = d/2.

Подставим эти значения в (1) и (2) и, решая уравнения совместно, найдём напряжение U₂:

U₂ = .

Произведём вычисления:

.

Для доказательства того, что движение электрона происходит по параболической траектории, получим уравнение его траектории. Используя формулы (1) и (2), получаем

.

Так как ускорение а_у и скорость являются константами, то получаем:

y = const x² (уравнение параболы).

Ответ: U₂ = 32 В; электрон движется в конденсаторе по параболической траектории.

Пример 8. Две концентрические проводящие сферы радиусами
R₁ = 6 см и R₂ = 10 см несут соответственно заряды q₁ = l нКл и
q₂ = – 0,5 нКл. Пространство между сферами полностью заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 2. Найти напряженность электрического поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁ = 5 см, r₂ = 9 см r₃ = 15см.

Дано: R₁ = 0,06 м; R₂ = 0,10 м; q₁ = 1,0×10^–9 Кл; q₂ = – 0,5×10^–9 Кл;
r₁ = 0,05 м, r₂ = 0,09 м r₃ = 0,15 м.

Найти:E₁; E₂; E₃.

- область I (r₁< R₁);

- область II (R₁ < r₂ < R₂);

- область III (r₃ > R₂).

Рис. 23

Для определения напряженности воспользуемся теоремой Гаусса.

1. Для определения напряженности E₁ в области I проведем сферическую поверхность площадью S₁ радиусом r₁ и рассчитаем поток вектора напряжённости через выбранную гауссовскую поверхность. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство

или , (1)

где E_n1 – нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля в точках области I.

Так как произведение равно 0, а , то E₁ = 0, т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r₁<R₁, будет равна нулю.

2. В области II поток вектора напряжённости электрического поля рассчитаем через сферическую поверхность площадью (рис. 23). Так как внутри этой поверхности находится заряд q₁,тодля нее, согласно теореме Гаусса,можно записать равенство

или ,

где E_n2 – нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля в точках области II.

Так как E_n = Е₂ = const, то

,

.

Тогда . (2)

3. В области III поток вектора напряжённости электрического поля рассчитаем через сферическую поверхность площадью (рис. 23). Эта поверхность охватывает суммарный заряд q₁+q₂. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основетеоремыГаусса, будет иметь вид

.

Тогда, используя положения, примененные в первых двух случаях, найдем

(3)

Убедимся в том, что правые части равенств (2) и (3) дают единицу напряженности электрического поля:

.

Произведем вычисления:

;

.

Ответ: E₁ = 0 В/м; E₂ = 560 В/м; E₃ = 200В/м.

Пример 9.Плоский воздушный конденсатор электроёмкостью С заполняют наполовину диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 2, как показано на рис. 24. Определить, во сколько раз изменится электроёмкость конденсатора.

Рис. 24

Дано:e = 2.

Найти:С_посл./С_.; С _пар./С.

Решение: 1. Исходный конденсатор имеет электроёмкость, которая рассчитывается по формуле

где e = 1, т.к. конденсатор воздушный.

Тогда

Рассмотрим конденсатор, наполовину заполненный диэлектриком первым способом (рис. 24 (а)). Такой конденсатор можно рассматривать как два конденсатора с ёмкостями