Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена

Если ф-ция f(x) является суммой ряда

, (1)

то говорят что ф-ция f(x) разлагается в ряд по степеням (х – с).

Важность такого разложения видна хотя бы из того, что мы получаем возможность приближенно заменить ф-цию суммой нескольких первых членов степенного ряда, т.е. многочленом.

Теорема. Если ф-ция f(x) на интервале разлагается в степенной ряд

, то это разложение

единственное и коэффициенты этого ряда выражаются через значения ф-ции и

ее производной.

Доказательство. Дифференцируя этот ряд в интервале сходимости, получаем

При х = х₀. получаем

Подставляя эти выражения для коэффициентов в формулу разложения (1), получим

Ряд в правой части равенства называется рядом Тейлора ф-ции f(x).

Отметим его частный случай , когда х₀ = 0:

Последний ряд называют рядом Маклорена.

Все рассуждения были сделаны в предположении, что ф-ция f(x) может быть разложена в степенной ряд. Однако, в общем случае, ряд может расходиться, и даже, если он сходится, то к другой ф-ции. Сформулируем необходимое и достаточное условие представление ф-ции степенным рядом.

Теорема. Пусть ф-ция f(x) в интервале имеет производные любого порядка. Тогда для любого х, из этого интервала будет справедлива формула Тейлора

Из равенства следует, что ряд Тейлора сходится к ф-ции f(x) в интервале , тогда и только тогда, когда .

Теорема. Если в интервале ф-ция f(x) имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом

, то в этом интервале ряд Тейлора для этой ф-ции сходится и его сумма равна f(x) .

Замечание. В тех случаях, когда применение теоремы затруднительно, поступают иначе. Составив ряд Тейлора для ф-ции f(x), определяют сначала интервал его сходимости и лишь затем стараются доказать ,что при значениях х, принадлежащих интервалу сходимости.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных ф-ций

Эти разложения получены как непосредственным вычислением коэффициентов ряда, так и с использованием свойств почленного дифференцирования и интегрирования рядов.

1. Разложим в ряд Маклорена ф-цию .

Итак ряд Маклорена имеет вид

Найдем производные и вычислим их в точке х=0.

.

Так как в любом интервале (-R,R) , то ряд сходится к заданной ф-ции,т.е

2. Разложим в ряд Маклорена ф-цию .

Найдем производные и вычислим их в точке х=0.

Итак

3. Разложим в ряд Маклорена ф-цию .

Воспользуемся разложением .

Очевидно

4. Разложим в ряд Маклорена ф-цию .

Очевидно

Воспользуемся разложением ,заменив

Таким образом

Приложения рядов

Ряды имеют самое широкое применение. В частности они используются в приближенных вычислениях. С помощью рядов вычисляют приближенные значения ф-ций, определенных интегралов, решений дифференциальных ур-й, пределов.

Пример 1. Вычислить интеграл с точность до 0.001: .

Используем ряд Маклорена ф-ции cosx.

Пример 2. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию у(0)=1.

Для решения используем способ последовательного дифференцирования.

Решение будем искать в виде ряда Тейлора

х = х₀

Подставим начальное условие в исходное ур-ие и найдем .

Продиффиринцируем исходное уравнение и найдем .

Продиффиринцируем исходное ур-ие дважды и найдем

Таким образом решение дифференциального ур-ия