Теорема 1. Всякий степенной ряд (2) с радиусом сходимости R > 0 сходится равномерно
на всяком отрезке, содержащемся в интервале сходимости (-R,R).
Теорема 2. Сумма степенного ряда (2) есть ф-ция, непрерывная в каждой точке интервала
сходимости ряда.
Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно
дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем в результате
этих операций получаются степенные ряды, имеющие тот же радиус
сходимости, что и исходный ряд.
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов позволяет заданные ряды сводить к уже известным рядам.
Пример 1. Вычислить 
.
Сопоставим заданному числовому ряду степенной ряд
.
Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера: 
.
К какому ряду он ближе всего? К ряду геометрической прогрессии
, который равномерно сходится при 
Исходный ряд можно получить посредством интегрирования ряда геометрической прогрессии
.
Следовательно 
.
Пример 2. Вычислить 
.
Сопоставим заданному числовому ряду степенной ряд
. Очевидно ряд сходится при 
.
Преобразуем ряд геометрической прогрессии к заданному ряду, продифференцировав его:
.
