Теоретическая часть

Если изолированный проводник поместить в электрическое поле , то на свободные заряды q в проводнике будет действовать сила . В результате в проводнике возникает кратковременное перемещение свободных зарядов. Этот процесс закончится тогда, когда собственное электрическое поле зарядов, возникших на поверхности проводника, не скомпенсирует полностью внешнее поле. Результирующее электростатическое поле внутри проводника равно нулю. Однако, в проводниках может при определенных условиях возникнуть непрерывное упорядоченное движение свободных носителей электрического заряда. Такое движение называется электрическим током. За направление электрического тока принято направление движения положительных свободных зарядов. Для существования электрического тока в проводнике необходимо создать в нем электрическое поле.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I – скалярная физическая величина, равная отношению заряда Δq, переносимого через поперечное сечение проводника за интервал времени Δt, к этому интервалу времени:

(2.1)

Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется постоянным. Постоянный электрический ток может быть создан только в замкнутой цепи, в которой свободные носители заряда циркулируют по замкнутым траекториям. Электрическое поле в разных точках такой цепи неизменно во времени. Следовательно, электрическое поле в цепи постоянного тока имеет характер замороженного электростатического поля. Но при перемещении электрического заряда в электростатическом поле по замкнутой траектории, работа электрических сил равна нулю. Поэтому для существования постоянного тока необходимо наличие в электрической цепи устройства, способного создавать и поддерживать разности потенциалов на участках цепи за счет работы сил неэлектростатического происхождения. Такие устройства называются источниками постоянного тока. Силы неэлектростатического происхождения, действующие на свободные носители заряда со стороны источников тока, называются сторонними силами.

Природа сторонних сил может быть различной. В гальванических элементах или аккумуляторах они возникают в результате электрохимических процессов, в генераторах постоянного тока сторонние силы возникают при движении проводников в магнитном поле. Источник тока в электрической цепи играет ту же роль, что и насос, который необходим для перекачки жидкости в замкнутой гидравлической системе. Под действием сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему в замкнутой цепи может поддерживаться постоянный электрический ток. При перемещении электрических зарядов по цепи постоянного тока сторонние силы, действующие внутри источников тока, совершают работу.

Физическая величина, равная отношению работы A_ст сторонних сил при перемещении заряда q от отрицательного полюса источника тока к положительному к величине этого заряда, называется электродвижущей силой источника (ЭДС):

(2.2)

При перемещении единичного положительного заряда по замкнутой цепи постоянного тока работа сторонних сил равна сумме ЭДС, действующих в этой цепи, а работа электростатического поля равна нулю.

(2.3)

Цепь постоянного тока можно разбить на определенные участки. Те участки, на которых не действуют сторонние силы (т. е. участки, не содержащие источников тока), называются однородными. Участки, включающие источники тока, называются неоднородными. При перемещении единичного положительного заряда по некоторому участку цепи работу совершают как электростатические (кулоновские), так и сторонние силы. Работа электростатических сил равна разности потенциалов Δφ₁₂ = φ₁ – φ₂ между начальной (1) и конечной (2) точками неоднородного участка. Работа сторонних сил равна по определению электродвижущей силе

₁₂, действующей на данном участке. Поэтому полная работа равна

(2.4)

Величину U₁₂ принято называть напряжением на участке цепи 1–2. В случае однородного участка напряжение равно разности потенциалов:

Немецкий физик Г. Ом в 1826 году экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т. е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника:

(2.5)

Величину R принято называть электрическим сопротивлением. Это соотношение выражает закон Ома для однородного участка цепи: сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.

(2.6)

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника

где l – длина проводника, S – площадь его поперечного сечения, ρ – зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением.

(2.7)

Проводники, подчиняющиеся закону Ома, называются линейными. Графическая зависимость силы тока I от напряжения U (такие графики называются вольт-амперными характеристиками, сокращенно ВАХ) изображается прямой линией, проходящей через начало координат. Следует отметить, что существует много материалов и устройств, не подчиняющихся закону Ома, например, полупроводниковый диод или газоразрядная лампа. Даже у металлических проводников при достаточно больших токах наблюдается отклонение от линейного закона Ома, так как электрическое сопротивление металлических проводников растет с ростом температуры

Где α – температурный коэффициент сопротивления, зависящий от материала проводника.

Для участка цепи, содержащего ЭДС, закон Ома записывается в следующей форме:

(2.8)

Это выражение называется обобщенным законом Ома.

На рис. 2.1 изображена замкнутая цепь. Участок цепи (cd) является однородным. По закону Ома

(2.9)

Рис. 2.1.

Участок ab содержит источник тока с ЭДС, равной ε. Закон Ома для этого участка,

(2.10)

Складывая равенства (2.9) и (2.10) получим

(2.11)

Но так как , получается что

(2.12)

Формула 2.12 выражает закон Ома для полной цепи: сила тока в полной цепи равна электродвижущей силе источника деленной на сумму сопротивлений однородного и неоднородного участков.

На рис. 2.2 дано схематическое изображение источника постоянного тока с ЭДС равной ε и внутренним сопротивлением r в трех режимах: «холостой ход» - цепь разомкнута(1), работа на нагрузку(2) и режим короткого замыкания(3). Указаны напряженность электрического поля внутри батареи и силы, действующие на положительные заряды: – электрическая сила и – сторонняя сила. В режиме короткого замыкания электрическое поле внутри батареи исчезает.

Рис.2.2.

Для измерения напряжений и токов в электрических цепях постоянного тока используются специальные приборы – вольтметры и амперметры. Вольтметр предназначен для измерения разности потенциалов, приложенной к его клеммам. Он подключается параллельно участку цепи, на котором производится измерение разности потенциалов. Любой вольтметр обладает некоторым внутренним сопротивлением R_B. Для того, чтобы вольтметр не вносил заметного перераспределения токов при подключении к измеряемой цепи, его внутреннее сопротивление должно быть велико по сравнению с сопротивлением того участка цепи, к которому он подключен. Для цепи, изображенной на рис. 2.3, это условие записывается в виде:

Это условие означает, что ток I_B = Δφ_cd / R_B, протекающий через вольтметр, много меньше тока I = Δφ_cd / R₁, который протекает по узмеряемому участку цепи. Поскольку внутри вольтметра не действуют сторонние силы, разность потенциалов на его клеммах совпадает по определению с напряжением. Поэтому можно говорить, что вольтметр измеряет напряжение.

(2.13)

Амперметр предназначен для измерения силы тока в цепи. Амперметр включается последовательно в разрыв электрической цепи, чтобы через него проходил весь измеряемый ток. Амперметр также обладает некоторым внутренним сопротивлением R_A. В отличие от вольтметра, внутреннее сопротивление амперметра должно быть достаточно малым по сравнению с полным сопротивлением всей цепи. Для цепи на рис. 2.3 сопротивление амперметра должно удовлетворять условию

чтобы при включении амперметра ток в цепи не изменялся.

Рис. 2.3

(2.14)

Проводники в электрических цепях могут соединяться последовательно и параллельно (рис. 2.4). При последовательном соединении проводников (рис. 2.4, а) сила тока во всех проводниках одинакова:

а) б)

Рис. 2.4.

(2.15)

По закону Ома, напряжения U₁ и U₂ на проводниках равны U₁ = IR₁, U₂ = IR₂. Общее напряжение U на обоих проводниках равно сумме напряжений U₁ и U₂:

U = U₁ + U₂ = I(R₁ + R₂) = IR,

(2.16)

где R – электрическое сопротивление всей цепи. Отсюда следует:

R = R₁ + R_{2 .}

При последовательном соединении полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников.Этот результат справедлив для любого числа последовательно соединенных проводников.

(2.17)

При параллельном соединении (рис. 2.4,б) напряжения U₁ и U₂ на обоих проводниках одинаковы:

U₁ = U₂ = U.

(2.18)

Сумма токов I₁ + I₂, протекающих по обоим проводникам, равна току I в неразветвленной цепи. Этот результат следует из того, что в точках разветвления токов (узлы A и B) в цепи постоянного тока не могут накапливаться заряды. Например, к узлу A за время Δt подтекает заряд IΔt, а утекает от узла за то же время заряд I₁Δt + I₂Δt. Следовательно, I = I₁ + I₂. Записывая на основании закона Ома

где R – электрическое сопротивление всей цепи, получим

(2.19)

При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников. Этот результат справедлив для любого числа параллельно включенных проводников.

Формулы для последовательного и параллельного соединения проводников позволяют во многих случаях рассчитывать сопротивление сложной цепи, состоящей из многих резисторов. На рис. 2.5 приведен пример такой сложной цепи и указана последовательность вычислений.

Рис. 2.5.

Следует отметить, что далеко не все сложные цепи, состоящие из проводников с различными сопротивлениями, могут быть рассчитаны с помощью формул для последовательного и параллельного соединения. На рис. 2.6 приведен пример электрической цепи, которую нельзя рассчитать указанным выше методом.

Рис. 2.6.

Обобщенный закон Ома позволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т.д.), довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью правил Кирхгофа.

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом(рис 2.7).При этом ток входящий в узел, считается положительным, а ток выходящий из узла – отрицательным.

Рис 2.7.

(2.20)

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 2.7 первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков. Такие замкнутые пути называются контурами. На разных участках выделенного контура могут протекать различные токи. На рис. 2.8 представлен простой пример разветвленной цепи. Цепь содержит два узла a и d, в которых сходятся одинаковые токи; поэтому только один из узлов является независимым (a или d). В цепи можно выделить три контура abcd, adef и abcdef. Из них только два являются независимыми (например, abcd и adef), так как третий не содержит никаких новых участков.

Рис.2.8.

Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома. Запишем обобщенный закон Ома для участков, составляющих один из контуров цепи, изображенной на рис. 2.8, например, abcd. Для этого на каждом участке нужно задать положительное направление токаиположительное направление обхода контура. При записи обобщенного закона Ома для каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков», которые поясняются на рис. 2.9.

Рис 2.9.

Для участков контура abcd обобщенный закон Ома записывается в виде:

для участка bc: I₁R₁ = Δφ_bc – ₁; для участка da: I₂R₂ = Δφ_da – ₂. Складывая левые и правые части этих равенств и принимая во внимание, что Δφ_bc = – Δφ_da , получим:

I₁R₁ + I₂R₂ = Δφ_bc + Δφ_da – ₁ + ₂ = – ₁ – _{2 .}

Аналогично, для контура adef можно записать:

– I₂R₂ + I₃R₃ = ₂ + ₃.

Второе правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.

(2.21)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться.

Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин ( в систему уравнений должны входить все сопротивления и ЭДС рассматривамой цепи).