Полиномы

Полиномы в Matlab представляются в виде вектора коэффициентов. Например, для определения полинома

следует использовать команду

>> p=[1 0 3.2 -5.2 0 0.5 1 -3]

p =

1.0000 0 3.2000 -5.2000 0 0.5000 1.0000 -3.0000

Число элементов вектора, т.е. число коэффициентов полинома, всегда на единицу больше его степени, нулевые коэффициенты должны содержаться в векторе.

Функция polyval предназначена для вычисления значения полинома от некоторого аргумента:

>> polyval(p,1)

ans =

-2.5000

Аргумент может быть матрицей или вектором, в этом случае производится поэлементное вычисление значений полинома и результат представляет матрицу или вектор того же размера, что и аргумент.

Пример 2. Построение графика функции на отрезке .

% задание аргумента - узлов полинома

x=0:0.01:1;

% вычисление функции в узлах полинома

F=polyval(p,x);

% построение графика

plot(x,F,'rs','LineWidth',3,'MarkerSize',2)

grid on

xlabel('x')

ylabel('p(x)')

График функции представлен на рис. 2.

Рис. 2.

Нахождение всех корней полиномов осуществляется при помощи функции roots, в качестве аргумента которой указывается вектор с коэффициентами полинома. Функция roots возвращает вектор корней полинома, в том числе и комплексных:

>> r=roots(p)

r =

-0.5668 + 2.0698i

-0.5668 - 2.0698i

-0.6305 + 0.5534i

-0.6305 - 0.5534i

1.2149

0.5898 + 0.6435i

0.5898 - 0.6435i

Функция polyder с одним аргументом предназначена для вычисления производной полинома

>> dp=polyder(p)

dp =

7.0000 0 16.0000 -20.8000 0 1.0000 1.0000

Задание 2. Найти корни и производную полинома из табл. 1. Построить график полинома на произвольном интервале с произвольным шагом. Сравните значения корней, полученных с помощью функции roots, с точками пересечения графика полинома с осью абсцисс.

Табл. 1. К заданию 2.

Умножение двух полиномов осуществляется при помощи conv. Например, для вычисления произведения полиномов и следует создать два вектора их коэффициентов и использовать их в качестве аргументов conv:

>> p=[1 0 1 0 0 1];

>> q=[1 2 3];

>> s=conv(p,q)

s =

1 2 4 2 3 1 2 3

В результате получается полином седьмой степени, соответствующий вектору s

.

Пример 3. Найти произведение полиномов: .

% файл-сценарий вычисления произведения полиномов

clear all

close all

clc

% очистка памяти, рабочей области и закрытие графиков

% 1 способ (с использованием цикла)

% задание полиномов в виде строк матрицы p

p(1,:)=[0 1 5];

p(2,:)=[0 1 -4];

p(3,:)=[0 2 3];

p(4,:)=[1 2 5];

PPoly=1;

% перемножение полиномов в цикле

for i=1:4

PPoly=conv(PPoly,p(i,:));

end

disp('1 способ')

% отображение полинома в виде массива коэффициентов

PPoly

% 2 способ

% задание полиномов в виде отдельных массивов

p1=[1 5];

p2=[1 -4];

p3=[2 3];

p4=[1 2 5];

disp('2 способ')

% перемножение полиномов

PPoly2=conv(conv(p1,p2),conv(p3,p4))

Для сложения и вычитания полиномов нет специальной функции. В то же время использование знака «+» для нахождения суммы полиномов разной степени приведет к ошибке, т.к. нельзя складывать векторы разных размеров. Алгоритм сложения полиномов достаточно прост:

1. Выбрать максимальный размер из двух векторов.

2. Соответствующим образом преобразовать каждый из двух векторов к максимальному размеру.

3. Сложить новые векторы.