Расположение гиперболы в декартовой системе координат в зависимости от коэффициентов D и E

• Если в уравнение (2) то уравнение

определяет гиперболу с центром в начале координат, и сводиться к каноническим уравнениям:

, .

· Если в уравнении (2) и , то его можно привести с помощью выделения полного квадрата относительно х и у к виду

или ,

где - центр гиперболы.

Гипербола, которая определяется уравнением (3) строиться с помощью параллельного переноса осей координат в точку и построения в новой системе координат эллипса

или ,

где , .

Рассмотрим возможные случаи

4.8.1 , ( )

, ( )

, ( )

, ( )

Если в уравнении (2) Е=0, то уравнение

Определят гиперболу смещенную вдоль оси Ох и его можно привести к каноническому виду

или (2.3)

где .

Рассмотрим возможные случаи

( )

( )

Если в уравнении (2) D=0, , то уравнение

определяет гиперболу, смещенную вдоль оси ОУ и её можно привести к каноническому уравнению вида

или (2.4)

где

Рассмотрим возможные случаи

( )

( )

Выполните самостоятельно.

Задача 7. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках B(0;4), D(0;-4) и фокусы в точках (0; 5).

Ответ:

3.5.2 Составление уравнения гиперболы по координатам ее фокусов (расстоянию между фокусами) и ее эксцентриситету.

Задача 10.

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁(0;-5), F₂(0;5), а эксцентриситет

Решение: Найдем фокальное расстояние F₁F₂ : , т.е. 2с=10, с=5. Так как фокусы по условию задачи расположены на оси оу, то по формуле (9) имеем . Подставив в полученное равенство значение с получим: , откуда b=3.

По формуле (?) найдем а²=25-9=16, а=4.

Подставив значения a и b в уравнение (?) получим или

Задача 11.Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов F( 20;0) и эксцентриситету .

Ответ:

3.5.3 Составления уравнения гиперболы по длине ее действительной оси и эксцентриситету.

Задача 13.

• Решение комплексных задач на составление уравнений линий первого и второго порядков

6.1 Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, проходящую через центр окружностии фокус параболы

Решение

1 Найдем координаты центра окружности

Запишем уравнение окружности в стандартном виде и в левой части выделим полный квадрат:

.

2 Найдем координаты фокуса параболы

Запишем уравнение параболы в стандартном виде .

Сравним уравнение данной параболы с каноническим уравнением .Осью симметрии параболы является ось ОУ, ветви её направлены вниз, а фокусы находятся в точке .В данном случае , тогда .

3 Составим уравнение прямой, проходящей через центр окружности и фокус параболы, используя уравнение прямой, проходящей через две точки

4 Длину перпендикуляра вычислим, по формуле для вычисления расстояния от точки до прямой

Ответ: